Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y+z-4=0. Có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với ba trục toạ độ x'Ox, y'Oy, z'Oz?

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB=3, AD=4, $\widehat{BAD}={120}^0$. Cạnh bên SA = $2\sqrt{3}$ vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD và BC (tham khảo hình vẽ bên). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (MNP).

Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong 5 cửa hàng đó. Xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào bằng

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f(2 sin⁡x+1)=f(m) có nghiệm thực ?

Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình ${\log }^{2}x+{\log }_{3}x.\log 27-4=0$. Giá trị của biểu thức $log{x}_1+log{x}_2$ bằng

Cho số phức $z=a+bi (a,b\in R)$. Xét các mệnh đề sau :

(1) z là số thực khi và chỉ khi $a\ne 0, b=0$

(2) z là số thuần ảo khi và chỉ khi $a=0, b\ne 0$

(3) z vừa là số thực vừa là số thuần ảo khi và chỉ khi a = 0, b = 0

Số mệnh đề đúng là ?

Biết rằng hệ số của $x^{n-2}$ trong khai triển ${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^n$ bằng 31. Tìm n.

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y=\frac{1}{x}, x=\frac{1}{2}, x=2$ và trục hoành. Đường thẳng x = k ($\frac{1}{2}$ < k <2) chia (H) thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Tìm tất cả giá trị thực của k để $S_1=3S_2$.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng qua M(-4;-9;12) và cắt các trục toạ độ x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại A(2;0;0),B,C sao cho OB=1+OC.

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng AC và BD′ bằng

Biết rằng sin⁡a, sin⁡acos⁡a, cos⁡a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính S=sin⁡a+cos⁡a.

Gọi A,B,C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, iz và 2z. Biết diện tích tam giác ABC bằng 4. Môđun của số phức z bằng

Cho phương trình ${\log }_2^{2}x-4{\log }_{2}x$$-m^2-2m+3=0$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=68$. Tính tổng các phần tử của S.

Cho số phức z = a+bi $\left(a, b \in R\right)$ thoả mãn $\frac{z-2i}{z-2}$ là số thuần ảo. Khi số phức z có môđun lớn nhất. Tính giá trị biểu thức P=a+b

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;1). Tính độ dài đoạn thẳng OA.

Viết công thức tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0 và x=ln⁡4, bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x $(0\le x\le \ln 4)$, có thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh là $\sqrt{x{e}^x}$.