Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(0;2;2\right),B\left(2;-2;0\right)$. Gọi $I_1(1;1;-1)$ và $I_2(3;1;1)$ là tâm của hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung AB. Biết rằng luôn có một mặt cầu (S) đi qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính R của (S).

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-4}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+5}{-1}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{3}=\frac{z}{1}$. Giả sử $M\in {\Delta }_1,N\in {\Delta }_2$ sao cho MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ${∆}_1$và ${∆}_2$. Tính $\overrightarrow{MN}$

Cho các số thực dương a b, thỏa mãn ${\log }_{2}a=x,{\log }_{2}b=y.$ Tính $P={\log }_2\left(a^2{b}^3\right)$

Tích tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_2^{2}x+\sqrt{{\log }_{2}x+1}=1$ bằng

Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=a$. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng $30°.$ 

Từ các chữ số 0; 2; 3; 5; 6; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và $SA\perp \left(ABCD\right),SA=x.$ Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau một góc bằng $60°$

Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và $x=\pi ,$ biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x\left(0\le x\le \pi \right)$ là một tam giác đều cạnh là $2\sqrt{sinx}$ 

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}a{x}^2+b\mathrm{x}+c \mathrm{khi} x\ge 0\\ ax-b-1 \mathrm{khi} x<0\end{array}\right..$ Khi hàm số f(x) có đạo hàm tại $x_0=0$. Tính giá trị biểu thức T = a + 2b 

Cho x, y là các số thực tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng

Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số từ 1 đến 9 . Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f\left(1\right)=1, \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}d\mathrm{x}=\frac{9}{5}$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(\sqrt{x}\right)d\mathrm{x}=\frac{2}{5}.$ Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)d\mathrm{x}$ 

Cho hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện $f\text{'}\left(x\right)=x+\sin x$ và $f\left(0\right)=1.$ Tìm f(x)

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $4^x<2^{x+1}$ 

Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$

Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử $\left(1\le k\le n\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?