Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;1). Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác gốc tọa độ. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC. 

Cho khối chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, $\widehat{ASB}=60°,\widehat{BSC}=90°,\widehat{ASC}=120°$. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho $\frac{CN}{SC}=\frac{AM}{AB}$. Khi khoảng cách giữa M và N nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp S.AMN.

Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;2;3). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; lần lượt tại A, B, C, sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC là

Với giá trị thực nào của tham số m thì đường thẳng y = 2x+m cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN ngắn nhất?

Biết rằng đường thẳng y = 2x-3 cắt đồ thị hàm số $y=x^3+x^2+2\text{x}-3$ tại hai điểm phân biệt A và B, biết điểm B có hoành độ âm. Hoành độ của điểm B bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn $f\left(2\right)=16,\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(2\text{x}\right)d\text{x}=2$. Tích phân bằng $\underset{0}{\overset{2}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$

Cho hàm số $y=x^3-3m{\text{x}}^2+2\left(m^2-1\right)x-m^3-m$ (m là tham số). Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số I(2;-2). Tổng tất cả các giá trị của m để ba điểm I, A, B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{5}$ là

Một thùng rượu có bán kính đáy là thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40 cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu? 

Đường thẳng x = k cắt đồ thị hàm số y = log₅x và đồ thị hàm số y = log₃(x+4). Khoảng cách giữa các giao điểm là $\frac{1}{2}$. Biết $k=a+\sqrt{b}$, trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó tổng a+b bằng

Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z₁, z₂ khác 0 và thỏa mãn đẳng thức $z_1^2+z_2^2=z_1{z}_2$. Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ). Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

Nếu $\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(4-e^{-\frac{\pi }{2}}\right)d\text{x}=a+2be$ thì giá trị của a+2b là 

Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = x+1 cắt đồ thị hàm số $y=\frac{4\text{x}-m^2}{x-1}$ tại đúng một điểm. Tích phân các phần tử của S bằng.

Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức $N=A.e^{rt}$ trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng (r>0) và t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 250 con và sau 12 giờ là 1500 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số vi khuẩn ban đầu? 

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;1) và vuông góc với hai mặt phẳng $\left(P\right);x+y-z-2=0$, $\left(Q\right):x-y+z-1=0$ là

Hàm số nào dưới đây có tập xác định là khoảng $\left(0;+\infty \right)$?

Cho số thực x thỏa mãn $\log \text{x}=\frac{1}{2}\log 3\text{x}-2\log b+3\log \sqrt{c}$ (a, b, c là các số thực dương). Hãy biểu diễn x theo a, b, c.