Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục tại $x=1$?

Đáp án đúng là : A

Lời giải:

Hàm số $y=\frac{3x}{x^2+x-2}$ bị gián đoạn tại $x=1$ vì $y\left(1\right)$ không tồn tại.

*Phương pháp giải:

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và điểm $x_0\in D$. Để xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm x = x₀:

+ Tính giới hạn của hàm số khi $x\to x_0$ và tính f(x₀).

+ Nếu tồn tại $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$ thì ta so sánh, nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0+}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0-}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$ thì hàm số liên tục tại x₀.

- Lưu ý:

+ Để hàm số liên tục tại x₀, hàm số cần phải xác định tại điểm x₀.

+ <$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=a\iff \underset{x\to x_0+}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0-}{\lim }f\left(x\right)=a$.

+ Hàm số liên tục tại x₀ .

+ Hàm số liên tục tại x₀ $\iff \underset{x\to x_0+}{\lim }{f}_1\left(x\right)=\underset{x\to x_0-}{\lim }{f}_2\left(x\right)=f_1\left(x_0\right)$ .

*Lý thuyết:

HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ ∈ K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{x}}_0}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}_0\right).$

Định nghĩa 2

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right),\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{b}}^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right).$

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Hàm số liên tục trên khoảng (a;b)

Hàm số không liên tục trên khoảng (a; b).

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1

 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .

 b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x₀;

b) Hàm số $\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}$ liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

Định lí 3

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b).

Xem thêm

Hàm số liên tục | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải 

50 bài tập về Hàm số liên tục (có đáp án 2024) và cách giải