Trong bài thi thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua một sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia 100m.

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật có $AB=2a\sqrt{3},AD=2a.$ Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp  là:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a cạnh bên hợp với đáy một góc ${60}^0.$ Gọi  là điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng $\left(BMN\right)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

Xếp 10 quyển sách tham khảo khác nhau gồm: 1 quyển sách Văn, 3 quyển sách tiếng Anh và 6 quyển sách Toán thành một hàng ngang trên giá sách. Tính xác suất để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai quyển sách Toán, đồng thời hai quyển Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau.

Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Gọi O là tâm của đáy ABC, $d_1$ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và $d_2$ là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính $d=d_1+d_2$.

Cho hình chóp S.ABC có SA$\perp$(ABC) và AB$\perp$BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số $y=x^3-3\left(2m+1\right)x^2+\left(12m+5\right)x+2$ đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right).$ Số phần tử của S bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng $\frac{7}{13}$ lần phần còn lại. Tính tỉ số $k=\frac{IA}{IS}$?

Có hai bút chì màu, các bút chì khác nhau. Hộp thứ nhất có 5 bút chì màu đỏ và 7 bút chì màu xanh. Hộp thứ hai có 8 bút chì đỏ và 4 bút chì màu xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì. Xác suất để có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh là:

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc ${45}^0$. Thể tích V của khối chóp $S.ABCD$ là:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=2a, AD=a. Tam giác  là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng  Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và có đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-3\right)$ và các mệnh đề sau:

I. Hàm số $g\left(x\right)$ có 3 điểm cực trị.

II. Hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x=0.$

III. Hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x=2.$

IV. Hàm số $g\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $\left(-2; 0\right).$

V. Hàm số $g\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng $\left(-1; 1\right).$

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

Một hộp đựng 40 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 40. Rút ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó có đúng một thẻ mang số chia hết cho 6.

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích V của khối chóp đó theo a.

Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:

Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Biết $AC\text{'}=a\sqrt{3}.$