Tổng $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^n}+\mathrm{...}$ có giá trị là

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left(-4;9;-9\right),B\left(2;12;-2\right)$ và $C\left(-m-2;1-m;m+5\right)$. Tìm giá trị của m  để tam giác ABC vuông tại B.

Hàm số $y=f\left(x\right)$ với đồ thị như hình vẽ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho ${\log }_{5}2=m,{\log }_{3}5=n$. Tính $A={\log }_{25}2000+{\log }_{9}675$ theo $m,n$.

Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+c$, các đường thẳng $x=-1,x=2$ và trục hoành (miền gạch chéo cho trong hình vẽ).

Gọi $z_1$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^2+2z+3=0$ . Điểm biểu diễn hình học của số phức $z_1$ là

Tổ hợp chập k của n phần tử được tính bởi công thức

Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với $AB=3a,BC=4a,SA\perp \left(ABC\right)$ và cạnh bên SC tạo với đáy góc $60°$. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=4a,SA\perp \left(ABCD\right)$ và cạnh SC tạo với đáy góc $60°$. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh AD sao cho DN = a . Khoảng cách giữa MN và SB là

Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước (không nắp) bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình chữ nhật chiều dài $d\left(m\right)$ và chiều rộng $r\left(m\right)$ với $d=2r$ . Chiều cao bể nước là $h\left(m\right)$ và thể tích bể là $2\left(m^3\right)$. Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu thì chi phí xây dựng là thấp nhất?

Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh $l=13\left(cm\right)$ và bán kính đáy $r=5\left(cm\right)$. Khi đó thể tích khối nón bằng

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, $SA\perp \left(ABCD\right)$ và SA=3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD là

Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán.

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AA' và BB' , đường thẳng CE cắt đường thẳng C'A' tại E', đường thẳng CF cắt đường thẳng C'B' tại F'. Thể tích khối đa diện EFB'A'E'F bằng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$. Nếu $\underset{1}{\overset{5}{\int }}2f\left(x\right)dx=2$ và $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=7$ thì $\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$ có giá trị bằng