Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x}-m khi x\ge 0\\ mx+2 khi x<0\end{array}\right.$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=2x^3-6x^2-m+1$ có các giá trị cực trị trái dấu? 

Tìm số nghiệm thuộc $[-\frac{3\mathrm{\pi }}{2};-\mathrm{\pi })$  của phương trình $\sqrt{3}\sin x=\cos \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}-2x\right)$.

Một cái th ng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng hai lần bán kính mặt đáy của th ng. Bên trong thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của th ng, có đ nh là tâm của miệng thùng và có chiều cao bằng 20cm (xem hình minh họa). Biết rằng đổ 4.000 $c{m}^3$ nước vào th ng thì đầy th ng (nước không chảy được vào bên trong phễu), tính bán kính đáy  r  của phễu (giá trị gần đúng của  r  làm tròn đến hàng phần trăm).

Ông An muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288 $m^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500.000 đồng/$m^2$. Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu?

Biết rằng phương trình ${\left(x-2\right)}^{{\log }_2\left[4\left(x-2\right)\right]}=4.{\left(x-2\right)}^3$ có hai nghiệm $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$. Tính $2x_1-x_2$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=5^x.8^{2x^3}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Tính tổng S các nghiệm của phương trình $\left(2\cos 2x+5\right)\left({\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x\right)+3=0$ trong  khoảng $\left(0;2\mathrm{\pi }\right)$.

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=2$; ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx=6$. Tính $I={\int }_{-1}^{1}f\left(\left|2x-1\right|\right)dx$?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ có bán kính $R=\sqrt{19}$,  đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=-2-4t\\ z=-1-4t\end{array}\right.$và mặt phẳng $\left(P\right):3x-y-3z-1=0$. Trong các số {a,b,c,d} theo thứ tự dưới  đây, số nào thỏa mãn a + b + c + d = 43, đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d và (S) tiếp xúc với (P)? 

Cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z+2}{1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-z-6=0$ cắt nhau tại I. Gọi M là điểm thuộc d sao cho IM = 6. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=x^4-2m{x}^2+m-1$  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp chúng bằng 1? 

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)={\cos }^{2}x$ ta được

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua điểm  M  và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz  lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với điểm gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P).

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ và $d_2:\frac{x-5}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{-1}$. Xét vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$