Câu hỏi:
17/06/2026 219
Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
a) \(f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\);
b) \(g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sin \,x}}\).
Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
a) \(f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\);
b) \(g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sin \,x}}\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
a) Biểu thức \(\frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) có nghĩa khi x2 + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne - 3\end{array} \right.\).
Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).
Suy ra hàm số f(x) xác định trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
b) Biểu thức \(\frac{{x - 2}}{{\sin \,x}}\) có nghĩa khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ℤ.
Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}. Hay hàm số g(x) xác định trên các khoảng (kπ; (k + 1)π) với k ∈ ℤ.
Trên các khoảng xác định của hàm số g(x), tử thức x – 2 (hàm đa thức) và mẫu thức sin x (hàm lượng giác) là các hàm số liên tục.
Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sin \,x}}\) liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
Lời giải:
a) Biểu thức \(\frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) có nghĩa khi x2 + 5x + 6 ≠ 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) ≠ 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne - 3\end{array} \right.\).
Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).
Suy ra hàm số f(x) xác định trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
b) Biểu thức \(\frac{{x - 2}}{{\sin \,x}}\) có nghĩa khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ℤ.
Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}. Hay hàm số g(x) xác định trên các khoảng (kπ; (k + 1)π) với k ∈ ℤ.
Trên các khoảng xác định của hàm số g(x), tử thức x – 2 (hàm đa thức) và mẫu thức sin x (hàm lượng giác) là các hàm số liên tục.
Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sin \,x}}\) liên tục trên các khoảng xác định của chúng.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Chứng minh rằng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}\) không tồn tại.
Câu 2:
Cho dãy số (un) có tính chất |un – 1| < \(\frac{2}{n}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?
Câu 3:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)\) bằng
A. 0.
B. 1.
C. +∞.
D. – 1.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)\) bằng
A. 0.
B. 1.
C. +∞.
D. – 1.
Câu 4:
Cho \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} + ... + {2^n}}}{{{2^n}}}\). Giới hạn của dãy số (un) bằng
A. 1.
B. 2.
C. – 1.
D. 0.
Cho \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} + ... + {2^n}}}{{{2^n}}}\). Giới hạn của dãy số (un) bằng
A. 1.
B. 2.
C. – 1.
D. 0.
Câu 5:
Tìm giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);
b) \({v_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}} \);
c) \[{{\rm{w}}_n} = \frac{{\sin \,n}}{{4n}}\].
Tìm giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);
b) \({v_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}} \);
c) \[{{\rm{w}}_n} = \frac{{\sin \,n}}{{4n}}\].
Câu 6:
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số.
a) 1,(01);
b) 5,(132).
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số.
a) 1,(01);
b) 5,(132).
Câu 7:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,x \ne 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,x = 1\end{array} \right..\) Hàm số f(x) liên tục tại x = 1 khi
A. a = 0.
B. a = 3.
C. a = – 1.
D. a = 1.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,x \ne 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,x = 1\end{array} \right..\) Hàm số f(x) liên tục tại x = 1 khi
A. a = 0.
B. a = 3.
C. a = – 1.
D. a = 1.
Câu 8:
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) với \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\) Tổng của cấp số nhân này bằng
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 6.
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) với \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\) Tổng của cấp số nhân này bằng
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 6.
Câu 9:
Tìm các giá trị của a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \le a\\{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x > a\end{array} \right.\) liên tục trên ℝ.
Câu 10:
Tính các giới hạn một bên:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x - 3} \right|}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }}\).
Tính các giới hạn một bên:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 9}}{{\left| {x - 3} \right|}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }}\).
Câu 11:
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt n \). Mệnh đề đúng là
A. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\).
C. \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \].
D. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\).
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt n \). Mệnh đề đúng là
A. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\).
C. \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \].
D. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\).
Câu 12:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} - \sqrt {x + 2} \). Mệnh đề đúng là
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0\).
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 1\).
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} - \sqrt {x + 2} \). Mệnh đề đúng là
A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty \).
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0\).
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 1\).
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\).
Câu 13:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}\). Hàm số f(x) liên tục trên
A. (–∞; +∞).
B. (–∞; – 1].
C. (–∞; – 1) ∪ (– 1; +∞).
D. [– 1; +∞).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}\). Hàm số f(x) liên tục trên
A. (–∞; +∞).
B. (–∞; – 1].
C. (–∞; – 1) ∪ (– 1; +∞).
D. [– 1; +∞).
Câu 14:
Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là
\(F\left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{GMr}}{{{R^3}}}\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,r < R\\\frac{{GM}}{{{r^2}}}\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,r \ge R,\end{array} \right.\)
trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r).
Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là
\(F\left( r \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{GMr}}{{{R^3}}}\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,r < R\\\frac{{GM}}{{{r^2}}}\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,\,r \ge R,\end{array} \right.\)
trong đó M và R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r).
Câu 15:
Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho.
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x}\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ne 0\\1\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x = 0\end{array} \right.\) tại điểm x = 0;
b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + x\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\2 - x\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.\) tại điểm x = 1.
Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho.
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x}\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ne 0\\1\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x = 0\end{array} \right.\) tại điểm x = 0;
b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + x\,\,\,n\^e 'u\,\,x < 1\\2 - x\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ge 1\end{array} \right.\) tại điểm x = 1.
