Tìm n để (n² – 8)² + 36 là số nguyên tố

* Lời giải:

Ta có: (n² – 8)² + 36

= n⁴ – 16n² + 64 + 36

= n⁴ – 16n² + 100

= n⁴ + 20n² + 100 – 36n²

= (n² + 10)² – (6n)²

= (n² + 6n + 10)(n² – 6n + 10)

Để (n² – 8)² + 36 là số nguyên tố thì n² + 6n + 10 = 1 hoặc n² – 6n + 10 = 1

TH1: n² + 6n + 10 = 1

⇔ n² + 6n + 9 = 0

⇔ (n + 3)² = 0

⇔ n + 3 = 0

⇔ n = –3 (loại)

TH2: n² – 6n + 10 = 1

⇔ n² – 6n + 9 = 0

⇔ (n – 3)² = 0

⇔ n – 3 = 0

⇔ n = 3 (thỏa mãn)

Vậy n = 3 thì (n² – 8)² + 36 là số nguyên tố.

* Phương pháp giải:

Khai triển và nhóm các hạng tử để biến đổi biểu thức thành dạng A²−B².

Phân tích biểu thức thành nhân tử (A−B)(A+B).

Để biểu thức là số nguyên tố, một trong các nhân tử phải bằng 1 hoặc -1.

Giải các phương trình tương ứng để tìm giá trị của n và kiểm tra điều kiện của n.

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của a, b là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a, b. Kí hiệu ƯCLN (a, b).

Nhận xét: Nếu a ⋮ b thì ƯCLN(a, b) = b

2. Cách tìm ƯCLN

Bài toán: Tìm ƯCLN(a, b, c,…)

Phương pháp giải

Ta có thể chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: (Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố): Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích của các thừa số chung đó, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN cần tìm.

Cách 2: (Sử dụng thuật toán Ơclit): Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lấy số lớn chia số nhỏ, giả sử a = b . x + r

      + Nếu r ≠ 0 ta thực hiện bước 2

      + Nếu r = 0 thì ƯCLN(a, b) = b

Bước 2: Lấy số chia, chia cho số dư. B = r . y +r₁

      + Nếu r₁ ≠ 0 ta thực hiện bước 3

      + Nếu r₁ = 0 thì ƯCLN(a, b) = r

Bước 3: Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết.

3. Bội chung nhỏ nhất

Bội chug nhỏ nhất của a, b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a, b. Kí hiệu BCNN(a, b).

Nhận xét: Ta có:

BCNN(a, 1) = a

BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b)

Mọi bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b)

4. Cách tìm BCNN

Bài toán: Tìm BCNN(a, b, c, …)

Phương pháp giải

Ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích các thừa số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Chú ý:

Ta có thể tìm BCNN bằng cách tính sau: ƯCLN(a, b).BCNN(a, b) = a.b

Muốn tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Giải Toán lớp 6 Bài 11 (Kết nối tri thức): Ước chung. Ước chung lớn nhất