Tìm m để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}mx-y& =1\\ x+my& =m+6\end{array}\right.$có nghiệm (x;y)thoả mãn 3x-y=1

Lời giải

$(I)\{\begin{array}{l}mx-y=1(1)\\ x+my=m+6(2)\end{array}$

Từ (1) $\Rightarrow y=mx-1(\ast )$

Thay $(\ast )$ vào (2) ta được:

$x+m(mx-1)=m+6$

$\iff x+m^{2}x-m=m+6$

$\iff x+m^{2}x=m+6+m$

$\iff x(1+m^2)=2m+6$ (3)

Do $m^2+1\ge 1>0$ nên phương trình (3) luôn có nghiệm duy nhất

$\Rightarrow$ Hệ phương trình $(I)$ có nghiệm duy nhất với mọi $m$.

Từ (3) $\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2m+6}{m^2+1}}$

Thay $x={\displaystyle \frac{2m+6}{m^2+1}}$ vào $(\ast )$ ta được:

$y=m.{\displaystyle \frac{2m+6}{m^2+1}}-1$

$\iff y={\displaystyle \frac{2m^2+6m}{m^2+1}}-1$

$\iff y={\displaystyle \frac{2m^2+6m-m^2-1}{m^2+1}}$

$\iff y={\displaystyle \frac{m^2+6m-1}{m^2+1}}$

Để hệ phương trình $(I)$ có hai nghiệm $x;y$ thỏa mãn $3x-y=1$

$\iff 3.{\displaystyle \frac{2m+6}{m^2+1}}-{\displaystyle \frac{m^2+6m-1}{m^2+1}}=1$

$\iff {\displaystyle \frac{6m+18-m^2-6m+1}{m^2+1}}-1=0$

$\iff {\displaystyle \frac{-m^2+19}{m^2+1}}-{\displaystyle \frac{m^2+1}{m^2+1}}=0$

$\iff {\displaystyle \frac{-m^2+19-m^2-1}{m^2+1}}=0$

$\Rightarrow -2m^2+18=0$

$\iff -2m^2=-18$

$\iff m^2=9$

$\iff [\begin{array}{l}m=3(tmdk)\\ m=-3(tmdk)\end{array}$

Vậy để hệ phương trình $(I)$ có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn $3x-y=1$ thì $m=3$ hoặc $m=-3$.

*Phương pháp giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$.

*Lý thuyết:

I. Lý thuyết

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Xem thêm

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (mới + Bài Tập) – Toán 9

50 bài tập về Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án 2025)