Tìm các giới hạn sau:

a) $\text{lim}\frac{n\left(2n^2+3\right)}{4n^3+1}$ ;                                  b) $\text{lim}\left[\sqrt{n}\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}\right)\right]$ .

$\text{lim}\frac{\sqrt{4n^2+4n+1}}{4n+1}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. 1.

C. 2.

D. +∞.

Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$ ).

Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^2}$ ).

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi 3^n‒1 tam giác, mỗi tam giác diện tích $\frac{1}{4^n}$ ). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x}{\left|x-3\right|}.$  Đặt $a=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)$  và $b=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right).$  Giá trị của a ‒ 2b bằng

A. 0.

B. 9.

C. ‒3.

D. ‒9.

Biết $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-3x+a}{x-1}=b$  với a và b là hai số thực. Giá trị của a + b bằng

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10 m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10 m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm A₁ của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm A₂ của A₁B. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm A₃ của A₂B. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B”.

Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.

Biết rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2ax}{\sqrt{x^2+ax}+x}=3.$  Giá trị của a là

A. $\frac{3}{4}$

B. 6.

C. $\frac{3}{2}$

D. 3.

Biết rằng phương trình x³ ‒ 2x ‒ 3 = 0 chỉ có một nghiệm. Phương trình này có nghiệm trong khoảng nào sau đây?

A. (‒1; 0).

B. (0; 1).

C. (1; 2).

D. (2; 3).

Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x²; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H.

Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(OM-MH\right).$

Biết rằng hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}& \text{ khi }x\ne 3\\ a& \text{ khi }x=3\end{array}\right.$  liên tục tại điểm x = 3. Giá trị của a bằng

A. $\frac{-1}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. ‒2.

D. 3.

$\text{lim}\frac{2n+1}{\sqrt{9n^2+1}-n}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. 1.

C. $\frac{1}{4}$

D. 2.

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) thoả mãn limu_n = 4, lim(v_n – 3) = 0.

lim[u_n(u_n – v_n)] bằng

A. 7.

B. 12.

C. 4.

D. 28.

Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10 m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right),$  rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển.

a) Viết công thức tính S(α) theo $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$ .

b) Xét tính liên tục của hàm số y = S(α) trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ .

c) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right)$  và $\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right).$

Cho các dãy số (u_n) và (v_n) thoả mãn limu_n = 2, lim(u_n – v_n) = 4. Tìm $\text{lim}\frac{3u_n-v_n}{u_n{v}_n+3}.$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-9}{\left|x+3\right|}& \text{ khi }x\ne -3\\ a& \text{ khi }x=-3.\end{array}\right.$

a) Tìm $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right).$

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = ‒3?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\text{tan}x& \text{khi \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}0\le x\le \frac{\pi }{4}\\ k-\text{cot}x& \text{ khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} }\frac{\pi }{4}<x\le \frac{\pi }{2}\end{array}\right.$  liên tục trên đoạn  $\left[0;\frac{\pi }{2}\right].$Giá trị của k bằng:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$