27 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SBT Toán 11 CTST Bài tập cuối chương 3

Đáp án đúng là: D

Ta có: $lim \frac{3 n^{2} + 2 n}{2 - n^{2}} = \lim \frac{3 + \frac{2}{n}}{\frac{2}{n^{2}} - 1} = \frac{3}{- 1} = - 3.$

Câu 2:

$lim \frac{\sqrt{4 n^{2} + 4 n + 1}}{4 n + 1}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. 1.

C. 2.

D. +∞.

Đáp án đúng là: A

$lim \frac{\sqrt{4 n^{2} + 4 n + 1}}{4 n + 1} = \lim \frac{\sqrt{4 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^{2}}}}{4 + \frac{1}{n}} = \frac{\sqrt{4}}{4} = \frac{1}{2} .$

Câu 3:

$lim \frac{2 n + 1}{\sqrt{9 n^{2} + 1} - n}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. 1.

C. $\frac{1}{4}$

D. 2.

Đáp án đúng là: B

$lim \frac{2 n + 1}{\sqrt{9 n^{2} + 1} - n} = \lim \frac{2 + \frac{1}{n}}{\sqrt{9 + \frac{1}{n^{2}}} - 1} = \frac{2}{3 - 1} = 1.$

Câu 4:

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) thoả mãn limu_n = 4, lim(v_n – 3) = 0.

lim[u_n(u_n – v_n)] bằng

A. 7.

B. 12.

C. 4.

D. 28.

Đáp án đúng là: C

Ta có lim(v_n ‒ 3) = 0 ⇔ limv_n = 3

Khi đó $lim [u_{n} (u_{n} - v_{n})] = \lim (u_{n}^{2} - u_{n} v_{n}) = 4^{2} - (4 \cdot 3) = 4.$

Câu 5:

18/07/2024

$lim \frac{4^{n}}{2 \cdot 4^{n} + 3^{n}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $lim \frac{4^{n}}{2 \cdot 4^{n} + 3^{n}} = \lim \frac{1}{2 + {(\frac{3}{4})}^{n}} = \frac{1}{2} .$

Câu 6:

13/07/2024

$\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - x - 2}{2 x - 4}$ bằng

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1.

D. $\frac{- 1}{2}$

Đáp án đúng là: A

Ta có $\lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 1)}{2 (x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} .$

Câu 7:

20/07/2024

$\lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{\sqrt{x + 3} - 2}$ bằng

A. 0.

B. +∞.

C. 2.

D. 8.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{2 x - 2}{\sqrt{x + 3} - 2} = \frac{(2 x - 2) (\sqrt{x + 3} + 2)}{(x + 3 - 4)}$ $= \frac{2 (x - 1) (\sqrt{x + 3} + 2)}{x - 1} = 2 (\sqrt{x + 3} + 2) .$

Khi đó $\lim_{x \to 1} \frac{2 x - 2}{\sqrt{x + 3} - 2} = \lim_{x \to 1} [2 (\sqrt{x + 3} + 2)] = 2 \cdot (\sqrt{1 + 3} + 2) = 8.$

Câu 8:

Biết $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + a}{x - 1} = b$ với a và b là hai số thực. Giá trị của a + b bằng

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Biết lim x^2 - 3x +a/ x -1= b với a và b là hai số thực. Giá trị của a + b bằng A. 1. B. 2. C. 4. D. 5. (ảnh 1)

Câu 9:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{|x - 3|} .$ Đặt $a = \lim_{x \to 3^{+}} f (x)$ và $b = \lim_{x \to 3^{-}} f (x) .$ Giá trị của a ‒ 2b bằng

A. 0.

B. 9.

C. ‒3.

D. ‒9.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $a = \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x^{2} - 3 x}{|x - 3|} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x^{2} - 3 x}{x - 3} = \lim_{x \to 3^{+}} x = 3.$ $b = \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x^{2} - 3 x}{|x - 3|} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x^{2} - 3 x}{3 - x} = \lim_{x \to 3^{-}} (- x) = - 3.$

Khi đó a ‒ 2b = 3 ‒ 2.(‒3) = 9.

Câu 10:

07/07/2024

Biết rằng $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 2, \lim_{x \to + \infty} (f (x) + 2 g (x)) = 4$ . Giới hạn $\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x) - 2 g (x)}{f (x) + 2 g (x)}$ bằng

A. ‒1.

B. 0.

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{- 1}{2}$

Biết rằng lim f(x) = 2; lim( f(x) + 2g(x))= 4 . Giới hạn (ảnh 1)

Câu 11:

21/07/2024

Biết rằng $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 a x}{\sqrt{x^{2} + a x} + x} = 3.$ Giá trị của a là

A. $\frac{3}{4}$

B. 6.

C. $\frac{3}{2}$

D. 3.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 a x}{\sqrt{x^{2} + a x} + x} = 3 \Leftrightarrow \lim_{x \to + \infty} \frac{2 a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + 1} = 3 \Leftrightarrow \frac{2 a}{2} = 3 \Leftrightarrow a = 3.$

Câu 12:

$\lim_{x \to - 2^{-}} \frac{1 - 3 x}{x + 2}$ bằng

A. +∞.

B. ‒∞.

C. ‒3 .

D. $\frac{7}{4}$

Đáp án đúng là: B

Do $\lim_{x \to - 2^{-}} (1 - 3 x) = 1 - 3 \cdot (- 2) = 1 + 6 = 7; \lim_{x \to - 2^{-}} \frac{1}{x + 2} = - \infty$

Nên $\lim_{x \to - 2^{-}} \frac{1 - 3 x}{x + 2} = \lim_{x \to - 2^{-}} [(1 - 3 x) \cdot \frac{1}{x + 2}] = - \infty .$

Câu 13:

21/07/2024

Biết rằng hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{2 - \sqrt{x + 1}}{x - 3} & khi x \neq 3 \\ a & khi x = 3 \end{matrix}$ liên tục tại điểm x = 3. Giá trị của a bằng

A. $\frac{- 1}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. ‒2.

D. 3.

Biết rằng hàm số f(x)= 2- căn x+1 khi x khác 3; a khi x = 3 liên tục tại điểm x = 3. Giá trị của a bằng (ảnh 1)

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} tan x & khi 0 \leq x \leq \frac{π}{4} \\ k - cot x & khi \frac{π}{4} < x \leq \frac{π}{2} \end{matrix}$ liên tục trên đoạn $[0; \frac{π}{2}] .$ Giá trị của k bằng:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. $\frac{π}{2}$

Cho hàm số f(x) = tan x khi 0 khi 0 nhỏ hơn hoặc bằng x nhỏ hơn hoặc bằng pi/4; k- cot x khi pi/4 nhỏ hơn x nhỏ hơn hoặc bằng pi/2 (ảnh 2)

Câu 15:

18/07/2024

Biết rằng phương trình x³ ‒ 2x ‒ 3 = 0 chỉ có một nghiệm. Phương trình này có nghiệm trong khoảng nào sau đây?

A. (‒1; 0).

B. (0; 1).

C. (1; 2).

D. (2; 3).

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x³ ‒ 2x ‒3 liên tục trên ℝ.

f(‒1) = (‒1)³ ‒ 2.(‒1) ‒ 3 = ‒2.

f(0) = 0³ ‒ 2.0 ‒ 3 = ‒ 3.

f(1) = 1³ ‒ 2.1 ‒ 3 = ‒4.

f(2) = 2³ ‒ 2.2 ‒ 3 = 1.

f(3) = 3³ ‒ 2.3 ‒ 3 = 18.

Ta thấy f(1).f(2) < 0 nên hàm số có nghiệm trong các khoảng (1; 2).

Câu 16:

18/07/2024

Tìm các giới hạn sau:

a) $lim \frac{n (2 n^{2} + 3)}{4 n^{3} + 1}$ ; b) $lim [\sqrt{n} (\sqrt{n + 5} - \sqrt{n + 1})]$ .

Câu 17:

14/07/2024

Cho các dãy số (u_n) và (v_n) thoả mãn limu_n = 2, lim(u_n– v_n) = 4. Tìm $lim \frac{3 u_{n} - v_{n}}{u_{n} v_{n} + 3} .$

Ta có lim(u_n– v_n) = 4

Suy ra limu_n – limv_n = 4, hay limv_n = limu_n – 4 = 2 – 4 = −2.

Do đó $lim \frac{3 u_{n} - v_{n}}{u_{n} v_{n} + 3} = \frac{3 lim u_{n} - lim v_{n}}{lim u_{n} \cdot lim v_{n} + 3} = \frac{3 \cdot 2 - (- 2)}{2 \cdot (- 2) + 3} = - 8.$

Câu 18:

07/07/2024

Tìm $lim \frac{6^{n} + 4^{n}}{(2^{n} + 1) (3^{n} + 1)}$ .

Ta có $\frac{6^{n} + 4^{n}}{(2^{n} + 1) (3^{n} + 1)} = \frac{1 + {(\frac{2}{3})}^{n}}{(1 + \frac{1}{2^{n}}) (1 + \frac{1}{3^{n}})}$ (chia cả tử và mẫu cho 6ⁿ = 2ⁿ.3ⁿ).

Do đó $lim \frac{6^{n} + 4^{n}}{(2^{n} + 1) (3^{n} + 1)} = \lim \frac{1 + {(\frac{2}{3})}^{n}}{(1 + \frac{1}{2^{n}}) (1 + \frac{1}{3^{n}})} = \frac{1}{1 \cdot 1} = 1.$

Câu 19:

20/07/2024

Cho a > b > 0 và

lim \frac{a^{n + 1} + b^{n}}{2 a^{n} + b^{n + 1}} = 1.

Tìm giá trị của a

Cho a > b > 0 và lim a^ n +1 +b^n / 2. a^n + b^ n +1 = 1. Tìm giá trị của a (ảnh 1)

Câu 20:

15/07/2024

Cho dãy số (u_n) thoả mãn $\lim n u_{n} = \frac{1}{2} .$ Tìm lim(3n – 4)u_n.

Ta có $lim u_{n} = lim (\frac{1}{n} \cdot n u_{n}) = lim \frac{1}{n} \cdot lim n u_{n} = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$ .

Từ đó, $lim (3 n - 4) u_{n} = lim (3 n u_{n} - 4 u_{n}) = 3 \lim n u_{n} - 4 lim u_{n} = 3 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot 0 = \frac{3}{2}$ .

Câu 21:

23/07/2024

Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$ ).

Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^{2}}$ ).

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi 3^n‒1 tam giác, mỗi tam giác diện tích $\frac{1}{4^{n}}$ ). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau: Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích ). Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích ). Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi 3n‒1 tam giác, mỗi tam giác diện tích ). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi. (ảnh 1)

Câu 22:

Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10 m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10 m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm A₁ của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm A₂ của A₁B. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm A₃ của A₂B. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B”.

Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.

Câu 23:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{2} - 9}{|x + 3|} & khi x \neq - 3 \\ a & khi x = - 3. \end{matrix}$

a) Tìm $\lim_{x \to - 3^{+}} f (x) - \lim_{x \to - 3^{-}} f (x) .$

b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = ‒3?

Cho hàm số f(x)= x^2 -9/ trị x+3 khi x khác -3; a khi x = -3 a) Tìm (ảnh 1)

Câu 24:

22/07/2024

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ .

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn $\lim_{x \to + \infty} f (x); \lim_{x \to - \infty} f (x); \lim_{x \to 3^{+}} f (x); \lim_{x \to 3} f (x) .$

Cho hàm số f(x)= 2x +1/ x - 3 . a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho. b) Tìm các giới hạn (ảnh 1)

Câu 25:

Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x²; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H.

Tìm $\lim_{x \to + \infty} (O M - M H) .$

Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x^2; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H. Tìm (ảnh 1)

Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x^2; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H. Tìm (ảnh 2)

Câu 26:

Chứng minh rằng phương trình x⁵ + 3x² ‒ 1 = 0 trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) đều có ít nhất một nghiệm.

Xét hàm số f(x) = x⁵ + 3x² ‒ 1. Hàm số này liên tục trên ℝ.

Ta có:

f(‒2) = (‒2)⁵ + 3.(‒2)² ‒ 1 = ‒32 + 12 ‒ 1 = ‒21.

f(‒1) = (‒1)⁵ + 3.(‒1)² ‒ 1 = ‒1 + 3 ‒ 1 = 1.

f(0) = 0⁵ + 3.0² ‒ 1 = ‒1.

f(1) = 1⁵ + 3.1² ‒ 1 = 3.

Do f(‒2).f(‒1) = ‒21 < 0 nên phương trình f(x) có nghiệm thuộc (‒2; ‒1).

Do f(‒1).f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (‒1; 0).

Do f(0).f(1) = ‒3 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (0; 1).

Vậy trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) phương trình f(x) = 0 hay x⁵ + 3x² ‒ 1 = 0 đều có ít nhất một nghiệm.

Câu 27:

13/07/2024

Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10 m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc $α (0 < α < \frac{π}{2}),$ rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển.

Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính AB = 10 m, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc rồi chạy bộ theo cung nhỏ CB đến điểm B (Hình 4). Gọi S(α) là quãng đường người đó đã di chuyển. (ảnh 1)

a) Viết công thức tính S(α) theo $α (0 < α < \frac{π}{2})$ .

b) Xét tính liên tục của hàm số y = S(α) trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$ .

c) Tính các giới hạn $\lim_{x \to 0^{+}} S (α)$ và $\lim_{x \to {\frac{π}{2}}^{+}} S (α) .$