Câu hỏi:
16/07/2024 77
Chứng minh rằng phương trình x5 + 3x2 ‒ 1 = 0 trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) đều có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh rằng phương trình x5 + 3x2 ‒ 1 = 0 trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) đều có ít nhất một nghiệm.
Trả lời:
Xét hàm số f(x) = x5 + 3x2 ‒ 1. Hàm số này liên tục trên ℝ.
Ta có:
f(‒2) = (‒2)5 + 3.(‒2)2 ‒ 1 = ‒32 + 12 ‒ 1 = ‒21.
f(‒1) = (‒1)5 + 3.(‒1)2 ‒ 1 = ‒1 + 3 ‒ 1 = 1.
f(0) = 05 + 3.02 ‒ 1 = ‒1.
f(1) = 15 + 3.12 ‒ 1 = 3.
Do f(‒2).f(‒1) = ‒21 < 0 nên phương trình f(x) có nghiệm thuộc (‒2; ‒1).
Do f(‒1).f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (‒1; 0).
Do f(0).f(1) = ‒3 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (0; 1).
Vậy trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) phương trình f(x) = 0 hay x5 + 3x2 ‒ 1 = 0 đều có ít nhất một nghiệm.
Xét hàm số f(x) = x5 + 3x2 ‒ 1. Hàm số này liên tục trên ℝ.
Ta có:
f(‒2) = (‒2)5 + 3.(‒2)2 ‒ 1 = ‒32 + 12 ‒ 1 = ‒21.
f(‒1) = (‒1)5 + 3.(‒1)2 ‒ 1 = ‒1 + 3 ‒ 1 = 1.
f(0) = 05 + 3.02 ‒ 1 = ‒1.
f(1) = 15 + 3.12 ‒ 1 = 3.
Do f(‒2).f(‒1) = ‒21 < 0 nên phương trình f(x) có nghiệm thuộc (‒2; ‒1).
Do f(‒1).f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (‒1; 0).
Do f(0).f(1) = ‒3 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (0; 1).
Vậy trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) phương trình f(x) = 0 hay x5 + 3x2 ‒ 1 = 0 đều có ít nhất một nghiệm.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho hàm số Đặt và Giá trị của a ‒ 2b bằng
A. 0.
B. 9.
C. ‒3.
D. ‒9.
Cho hàm số Đặt và Giá trị của a ‒ 2b bằng
A. 0.
B. 9.
C. ‒3.
D. ‒9.
Câu 4:
Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10 m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10 m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm A1 của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm A2 của A1B. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm A3 của A2B. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B”.
Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.
Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10 m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10 m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm A1 của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm A2 của A1B. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm A3 của A2B. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B”.
Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.
Câu 5:
Cho hai dãy số (un) và (vn) thoả mãn limun = 4, lim(vn – 3) = 0.
lim[un(un – vn)] bằng
A. 7.
B. 12.
C. 4.
D. 28.
Cho hai dãy số (un) và (vn) thoả mãn limun = 4, lim(vn – 3) = 0.
lim[un(un – vn)] bằng
A. 7.
B. 12.
C. 4.
D. 28.
Câu 6:
Biết rằng phương trình x3 ‒ 2x ‒ 3 = 0 chỉ có một nghiệm. Phương trình này có nghiệm trong khoảng nào sau đây?
A. (‒1; 0).
B. (0; 1).
C. (1; 2).
D. (2; 3).
Biết rằng phương trình x3 ‒ 2x ‒ 3 = 0 chỉ có một nghiệm. Phương trình này có nghiệm trong khoảng nào sau đây?
A. (‒1; 0).
B. (0; 1).
C. (1; 2).
D. (2; 3).
Câu 7:
Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:
Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích ).
Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích ).
Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi 3n‒1 tam giác, mỗi tam giác diện tích ). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.
Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:
Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích ).
Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích ).
Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi 3n‒1 tam giác, mỗi tam giác diện tích ). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.
Câu 8:
Cho các dãy số (un) và (vn) thoả mãn limun = 2, lim(un – vn) = 4. Tìm
Cho các dãy số (un) và (vn) thoả mãn limun = 2, lim(un – vn) = 4. Tìm
Câu 9:
Cho hàm số
a) Tìm
b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = ‒3?
Cho hàm số
a) Tìm
b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = ‒3?
Câu 10:
Biết với a và b là hai số thực. Giá trị của a + b bằng
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 5.
Biết với a và b là hai số thực. Giá trị của a + b bằng
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 5.
Câu 11:
Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x2; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H.
Tìm
Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x2; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H.
Tìm
Câu 12:
Cho hàm số liên tục trên đoạn Giá trị của k bằng:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D.
Cho hàm số liên tục trên đoạn Giá trị của k bằng:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D.
Câu 13:
Biết rằng hàm số liên tục tại điểm x = 3. Giá trị của a bằng
A.
B.
C. ‒2.
D. 3.
Biết rằng hàm số liên tục tại điểm x = 3. Giá trị của a bằng
A.
B.
C. ‒2.
D. 3.