Câu hỏi:
20/08/2026 70
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}}\); b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {4x + 5} - 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
2. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\begin{array}{*{20}{c}}{\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}}&{x \ne 2}\end{array}\\{m^2} + 3m\begin{array}{*{20}{c}}{\,\,\,{\rm{khi}}}&{x = 2}\end{array}\end{array} \right.\). Tìm \(m\) để hàm số liên tục tại \(x = 2\).
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}}\); b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {4x + 5} - 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
2. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\begin{array}{*{20}{c}}{\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}}&{x \ne 2}\end{array}\\{m^2} + 3m\begin{array}{*{20}{c}}{\,\,\,{\rm{khi}}}&{x = 2}\end{array}\end{array} \right.\). Tìm \(m\) để hàm số liên tục tại \(x = 2\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{3}{2}\). (0,5 điểm)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {4x + 5} - 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left( {\sqrt {4x + 5} - 2x - 3} \right)\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{4x + 5 - {{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4{x^2} - 8x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4}}{{\sqrt {4x + 5} + 2x + 3}} = - 2\).
2.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4\); \(f\left( 2 \right) = {m^2} + 3m\).
Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 2\) khi và chỉ khi
\(f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \Leftrightarrow {m^2} + 3m = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 4\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left\{ { - 4;\,\,1} \right\}\).
1.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{3}{2}\). (0,5 điểm)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {4x + 5} - 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left( {\sqrt {4x + 5} - 2x - 3} \right)\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{4x + 5 - {{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4{x^2} - 8x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4}}{{\sqrt {4x + 5} + 2x + 3}} = - 2\).
2.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4\); \(f\left( 2 \right) = {m^2} + 3m\).
Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 2\) khi và chỉ khi
\(f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \Leftrightarrow {m^2} + 3m = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 4\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left\{ { - 4;\,\,1} \right\}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)(hình vẽ dưới).
Mệnh đề nào sau đây sai?
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)(hình vẽ dưới).
Mệnh đề nào sau đây sai?
Câu 2:
Tìm ba số khác nhau tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân.
Câu 4:
Tập xác định của hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] là
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K.\) Hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0}\) khi
Câu 6:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = - 2\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\). Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là
Câu 7:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng nào dưới đây?
Câu 8:
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi hai điểm \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,AC\). Đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi hai điểm \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,AC\). Đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
Câu 9:
Mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:
|
Thời gian |
[10; 15) |
[15; 20) |
[20; 25) |
[25; 30) |
[30; 35) |
[35; 40) |
[40; 45) |
|
Số nhân viên |
5 |
15 |
10 |
12 |
24 |
32 |
5 |
Số nhân viên đi làm chỉ mất thời gian dưới 30 phút là
Câu 10:
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]xác định bởi \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1;{\rm{ }}{u_2} = 1\\{u_n} = {u_{n - 1}} + 2{u_{n - 2}}{\rm{ }}\left( {n \ge 3;n \in \mathbb{N}} \right)\end{array} \right.\]. Giá trị \[{u_4} + {u_5}\] là
Câu 12:
Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 13:
Trong các dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] sau đây, dãy số nào là dãy số bị chặn?
Câu 14:
Trong không gian, cho 4 điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
Câu 15:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 2.\) Tổng của \(5\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho bằng
