Một hình tứ diện đều có cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón tròn xoay còn ba đỉnh còn lại của tứ diện nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón là:

Phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và cắt mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z-6=0$ theo đường tròn có bán kính 3 là:

Tìm tập nghiệm S của phương trình ${\log }_2(x-1)={\log }_2(2x+1).$

Trong không gian (Oxyz), cho vật thể (H) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = a và x = b ($b<a$) Gọi S(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với $a\le x\le b.$ Giả sử hàm số $y = S\left(x\right)$ liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó, thể tích V của vật thể (H) được cho bởi công thức:

Giá trị k thỏa mãn đường thẳng $d:y = kx + k$ cắt đồ thị $\left(H\right):y=\frac{x-4}{2x-2}$ tại hai điểm phân biệt A, B cùng cách đều đường thẳng y = 0. Khi đó, k thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Trong không gian (Oxyz), cho mặt cầu $\left(S\right):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=4$ và điểm A(1;1;-1). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu (S) theo ba giao tuyến là các đường tròn $\left(C_1\right),\left(C_2\right),\left(C_3\right).$ Tổng bán kính của ba đường tròn $\left(C_1\right),\left(C_2\right),\left(C_3\right)$ là

Bán kính mặt cầu tâm I(1;3;5) và tiếp xúc với đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1-t\\ z=2-t\end{array}\right.$ là:

Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC), DB vuông góc BC, AD = AB = BC = a. Kí hiệu $V_1,V_2,V_3$ lần lượt là thể tích của hình tròn xoay sinh bởi tam giác ABD khi quay quanh AD, tam giác ABC khi quay quanh AB, tam giác DBC khi quay quanh BC. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x-1}.$

Khối lăng trụ tam giác ABC.$A\text{'}B\text{'}C\text{'}$, M là trung điểm của cạnh AB. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Tọa độ giao điểm M của đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):3x + 5y - z - 2 = 0$ là:

Cho $0<a\ne 1.$ Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với mặt đáy $\left(ABC\right),BC = a,$ góc hợp bởi (SBC) và SBC) là ${60}^0$ Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại D, E. Thể tích khối đa diện ABCED là

Hàm số $y=2x^3-x^2+x+2$ cắt parabol $y=-6x^2-4x-4$ tại một điểm duy nhất. Kí hiệu $\left(x_0;y_0\right)$ là tọa độ điểm đó. Tính giá trị biểu thức $x_0+y_0.$

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f(x) - 2 = 0 là:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ sau: