Một đoàn tàu được ghép bởi bốn toa tàu A, B, C, D và được kéo bởi một đầu máy. Có bao nhiêu cách sắp xếp các toa tàu sao cho toa A gần đầu máy hơn toa B?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị là đường gấp khúc như hình vẽ bên. Tính ${\int }_0^{9}f\left(x\right)dx$.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\ln \left(x^2-2mx+4\right)$ xác định với mọi $x\in ℝ$.

Trong mặt phẳng có m đường thẳng song song với nhau và n  đường thẳng vuông góc với m đường thẳng song song đó ($m,n\in \mathbb{N};m,n\ge 2$). Có nhiều nhất bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ các đường thẳng đó nếu $m+n=15$?

Giả sử hàm chỉ mức mức sản xuất của một hãng DVD trong một ngày là $q\left(m,n\right)=m^{\frac{2}{3}}{n}^{\frac{1}{3}}$, trong đó m là số lượng nhân viên và n là số lượng lao động chính. Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu của khách hàng. Biết rằng tiền lương một ngày cho một nhân viên là 16 USD và cho một lao động chính là 27 USD. Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí trong một ngày của hãng sản xuất này.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với trục Oz và cắt hai đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-6}{3}$; $d^{\text{'}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-1}$.

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\frac{x^2}{2}$ và đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng $2\sqrt{2}$. Biết $S=a\pi +\frac{b}{c}$, trong đó $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{*},\left(b,c\right)=1$. Tính tổng $a+b+c$.

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left(AIJ\right)$ với hình lăng trụ đã cho là hình gì?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\sin x-m\sin 2x-\frac{1}{3}\sin 3x+2mx$ có $f\text{'}\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in ℝ$.

Mệnh đề nào dưới đây sai?

Tìm phần nguyên của nghiệm lớn nhất trong khoảng $\left(-5\pi ;-2\pi \right)$ của phương trình $\tan \left(2x+1\right)\tan \left(3x-1\right)=1$.

Trong không gian Oxyz tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng cho bởi các phương trình $z-2=0$ và $z-8=0$.

Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có thể tích $V=5$, các đỉnh $A=\left(2;1;-1\right),B=\left(3;0;1\right)$, $C=\left(2;-1;3\right)$, đỉnh thứ tư D nằm trên trục Oy và có tung độ dương. Tìm tọa độ của D.

Một hình hộp chữ nhật có kích thước $4\times 4\times h$ chứa một khối cầu bán kính bằng 2 và tám khối cầu nhỏ hơn có bán kính bằng 1. Các khối cầu nhỏ đôi một tiếp xúc nhau và tiếp xúc với ba mặt của hình hộp, khối cầu lớn tiếp xúc với cả tám khối cầu nhỏ (xem hình vẽ). Tìm giá trị của h.

Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và khoảng cách giữa hai đáy bằng $r\sqrt{3}$. Một hình nón có đỉnh là tâm mặt đáy này và đáy trùng với mặt đáy kia của hình trụ. Tính tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?