Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B, hai thành phố này bị ngăn cách bởi một con sông. Người ta cần xây một cây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố A cách bờ sông một khoảng bằng 1 km, thành phố B cách bờ sông một khoảng bằng 4 km, khoảng cách giữa hai đường thẳng đi qua A,B và vuông góc với bờ sông là 10 km (hình vẽ). Hãy xác định vị trí xây cầu để tổng quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là nhỏ nhất

Cường độ một trận động đất được cho bởi công thức $M=\log \left(\frac{A_1}{A_0}\right)\Rightarrow \frac{A_1}{A_0}={10}^8$, với A là biên độ rung chấn tối đa và A₀ là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ XX, một trận động đất ở San Francisco có cường độ đo được 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richter. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản?

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt là $\frac{x-2}{2}=\frac{y+4}{3}=\frac{1-z}{2}$; $\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=-1+6t\\ z=-1+4t\end{array}\right.$. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{e^x-m-2}{e^x-m^2}$ đồng biến trên khoảng $\left(\ln \frac{1}{4};0\right)$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, SH = HC, SA = AB. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Tính giá trị của $\tan \left(\alpha \right)$

Một nhà máy sản xuất nước ngọt cần làm các lon dựng dạng hình trụ với thể tích đựng được là V. Biết rằng diện tích toàn phần nhỏ nhất thì tiết kiệm chi phí nhất. Tính bán kính của lon để tiết kiệm chi phí nhất

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\left(\sqrt{10-3}\right)}^{\frac{3-x}{x-1}}>{\left(\sqrt{10}+3\right)}^{\frac{x+1}{x+3}}$

Tính đạo hàm của hàm số $y={\left(x^2+x+1\right)}^{\sqrt{2018}}$

Tính nguyên hàm $\int \frac{\ln \left(\ln \left(x\right)\right)}{x}dx$

Biết rằng trong khai triển nhị thức Newton của ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^n$ tổng các hệ số của hai số hạng đầu bằng 24. Gọi S là tổng các hệ số của số hạng chứa $x^k\left(k>0\right)$. Hỏi S có tính chất gì trong các tính chất sau?

Tìm m để hàm số sau liên tục trên R

$f\left(x\right)\left\{\begin{array}{l}{x}^2+x+1\left(x<1\right)\\ m\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)x\left(x\ge 1\right)\end{array}\right.$

Tính tổng các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x-5}{x+m}$ tại hai điểm A và B sao cho AB = $4\sqrt{2}$

Gọi $z_1;z_2;z_3;z_4$ là 4 nghiệm của phương trình $z^4-z^3-2z^2-2z+4=0$. Tính $T=\frac{1}{\left|z_1^2\right|}+\frac{1}{\left|z_1^2\right|}+\frac{1}{\left|z_3^2\right|}+\frac{1}{\left|z_4^2\right|}$

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho $h\text{'}\left(t\right)=3a{t}^2+bt$ và :

- Ban đầu bể không có nước

- Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150$m^3$

- Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100$m^3$Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.

Cho ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(2x-1-\sin \left(x\right)\right)dx=\mathrm{\pi }\left(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{a}}-\frac{1}{\mathrm{b}}\right)-1$. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

Cho số thực x thỏa mãn điều kiện $9^x+9^{-x}=23$ . Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{5+3^x+3^{-x}}{1-3^x-3^{-x}}$