Khai triển và rút gọn biểu thức

$1-x+2{\left(1-x\right)}^2+.+n{\left(1-x\right)}^n$ thu được đa thức 

$P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+..+a_n{x}^n$ . Tính hệ số $a_8$ biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{1}{C_n^2}+\frac{7}{C_n^3}=\frac{1}{n}$

Một công ty đang lập kế hoạch cải tiến sản phẩm và xác định rằng tổng chi phí dành cho việc cải tiến là $C\left(x\right)=2x+4+\frac{2}{x-6}\left(x>6\right)$ trong đó x là số sản phẩm được cải tiến. Tìm số sản phẩm mà công ty cần cải tiến để tổng chi phí là thấp nhất

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $a^{\left({\log }_3{\left(7\right)}^2\right)}=27$; $b^{\left({\log }_7{\left(11\right)}^2\right)}=49$; $c^{\left({\log }_{11}{\left(25\right)}^2\right)}=\sqrt{11}$. Tính giá trị của biểu thức$T=a^{\left({\log }_3{\left(7\right)}^2\right)}+b^{\left({\log }_7{\left(11\right)}^2\right)}+c^{\left({\log }_{11}{\left(25\right)}^2\right)}$

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\sqrt{4x^2+4x+3}-\left(ax+b\right)\right]$

Tính ${\left(a-2b\right)}^{2018}\left(3a^2+\sqrt[3]{ab}+b\sqrt[3]{a}\right)$

Vận tốc của một vật chuyển động là $v\left(t\right)=\frac{1}{2\mathrm{\pi }}+\frac{\sin \left(\mathrm{\pi t}\right)}{\mathrm{\pi }}$ (m/s). Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn đến kết quả hàng phần trăm)

Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

$\sin \left[\frac{\mathrm{\pi }}{4}\left(3x-\sqrt{9x^2-16x-80}\right)\right]$ = 0

Tính giá trị của m để hàm số $y=x^3+3x^2+mx+\left|m\right|$ nghịch biến trên một đoạn có độ dài l = 1

Tính giá trị của $\alpha$ để hàm số

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{3}{x}^3 \\ -\frac{1}{2}\left(\sin \left(\alpha \right)+\cos \left(\alpha \right)\right)x^2 \\ +\frac{3}{4}\left(\sin \left(2\alpha \right)\right)x+\cos \left({\alpha }^2+2\alpha \right) \end{gathered}$$

luôn đồng biến trên R

Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình (H) giới hạn bởi các đường

$y=\sqrt{{\log }_2\left(x\right)};x+y-3=0;y=0$

Tìm a để đồ thị hàm số $y=x^3+a{x}^2-4$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Cường độ ánh sáng đi qua một môi trường khác không khí, chẳng hạn như nước, sương mù,… sẽ giảm dần tùy theo độ dày của môi trường và một hằng số $\mu$ gọi là khả năng hấp thụ tùy thuộc môi trường theo công thức sau $I=I_0{e}^{-\mu x}$ với x là độ dày của môi trường đó, tính bằng mét. Biết rằng nước biển có $\mu =1,4$. Tính cường độ ánh sáng giảm đi từ 2 m xuống đến 10m`

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn $f\left(-x\right)+2f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$. Tính tích phân $I={\int }_{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-2x^2-mx-2018$. Tìm m để $f\text{'}\left(x\right)<0\forall x\in \left(0;2\right)$ 

Tính giới hạn

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim } \\ \left[\cos \left(\pi n\sqrt[3]{n^3+3n^2+n+1}\right)\right]+\left[\sin \left(\mathrm{\pi n}\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}\right)\right] \end{gathered}$$

Cho 8 quả cân có khối lượng lần lượt là 1 kg; 2 kg;…; 8 kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân. Tính xác suất để trọng lượng quả cân được chọn không quá 9 kg

Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.