Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$

Đáp án đúng: D

*Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện cho hàm số đó xác định rồi tính đạo hàm và xét sự đồng biến/nghịch biến của hàm số đó

*Lời giải:

+ Hàm số y = $x^3 - 2x + 1$

$\iff$y' = $3x^2 - 2$

Hàm số có 2 nghiệm phân biệt nên không thỏa mãn đồng biến trên R --> Loại

+ Hàm số y = $\frac{x +1}{x- 2}$

$\iff$y' = $\frac{-3}{{(x-2)}^2}$ < 0 với mọi x $\ne 2$

vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty , 2) và (2, +\infty )$  --> Loại

+ Hàm số  y = $\frac{x - 1}{x + 1}$

$\iff$y' = $\frac{2}{{(x+1)}^2}$ > 0 với mọi x $\ne -1$ 

nên hàm số đồng biến trên 2 khoảng: $(-\infty , -1) và (-1,+\infty )$  --> Loại

+ Hàm số y = $x^3 + 3x - 3$

$\iff$y' = $3x^2 + 3$ > 0 với mọi x $\in R$ 

nên hàm số đồng biến trên khoảng $( -\infty , +\infty )$ --> Đúng 

*Các dạng bài tập thường gặp sự đồng biến/nghịch biến của hàm số:

a) Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số. 

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

– Bước 2: Tính đạo hàm f′(x) , sau đó tìm các điểm x1,x2,…,xn  mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không xác định.

– Bước 3: Xét dấu đạo hàm và đưa ra kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà f′(x)>0 là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà f′(x)<0 là các khoảng nghịch biến của hàm số.

b) Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Tính f′(x).

– Bước 2: Nêu các điều kiện của bài toán:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên R⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ các điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để tìm m. 

c) Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D đã cho trước.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Nêu các điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên D⇔y′=f′(x)⩾0, với ∀x∈D.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên D⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈D.

– Bước 2: Từ điều kiện trên hãy sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.

- Bước 3: Kết luận

d) Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

– Bước 1: Tính y′

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến và nghịch biến:

– Bước 3: Đưa ra kết luận.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án)

Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số Toán 12 mới nhất