Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn $e^{x-4y+\sqrt{1-x^2}}-e^{y^2+\sqrt{1-x^2}}-y=\frac{y^2-x}{4}$ giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x^3+2y^2-2x^2+8y-x+2$ là $\frac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $S=a+b$.

Một biển quảng cáo có dạng hình Elip với bốn đỉnh $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ như hình vẽ bên. Người ta chia Elip bởi Parabol có đỉnh $B_1$, trục đối xứng $B_1{B}_2$, và đi qua các điểm M, N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/$m^2$ và trang trí đèn Led phần còn lại với giá 500.000 đồng/$m^2$. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng $A_1{A}_2=4M$, $B_1{B}_2=2m$, $MN=2m$.

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

Gọi S là tập hợp các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt $z_1$, $z_2$ thỏa mãn đồng thời các phương trình $\left|z-1\right|=\left|z-i\right|$ và $\left|z+2m\right|=m+1$. Tổng các phần tử của S là

Tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin 5x$ là

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị m để phương trình $\left|f\left(\frac{3x^2+2x+3}{2x^2+2}\right)\right|=m$ có nghiệm

Giả sử m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)={31}^x+3^x+mx$ trên $ℝ$ là 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y' = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số g(x) = f(x) - x có bao nhiêu điếm cực trị?

Người ta sản xuất một vật lưu niệm (N) bằng thủy tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết kế qua trục của nó là một hình thang cân (xem hình vẽ). Bên trong (N) có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là R = 3 cm, r = 1 cm tiếp xúc với nhau và cùng tiếp xúc với mặt xung quanh của (N), đồng thời hai khối cầu lần lượt tiếp xúc với hai mặt đáy của (N). Tính thể tích của vật lưu niệm đó

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a, $SA\perp \left(ABCD\right)$, SA = a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng S.ABC.

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên

Bất phương trình $f\left(x\right)<3e^{x+2}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[-2;2\right]$ khi và chỉ khi

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC}=30°$, BC = 2, đường thẳng BC có phương trình $\frac{x-4}{1}=\frac{y-5}{1}=\frac{z+7}{-4}$ đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: x + z - 3 = 0. Biết đỉnh C có cao độ âm. Tính hoành độ của đỉnh A

Cho hàm số f(x) liên tục trên có f(0) = 0 và đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên. Hàm số $y=\left|3f\left(x\right)-x^3\right|$ đồng biến trên khoảng

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm f'(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn $f\left(1\right)=e.f\left(0\right)$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{f^2\left(x\right)}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{2}dx\le 2$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tính đạo hàm của hàm số $y={\left(3x\right)}^e+{\log }_2\frac{1}{x}$

Cho F(x) là nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$ thỏa mãn F(2) = 4. Giá trị F(-1) bằng