Giả sử F(x) là một họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{x}$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$. Tính tích phân ${\int }_1^3\frac{\sin \left(2x\right)}{x}dx$

Cho 0 < x; y; z$\ne$1 và thỏa mãn xyz = 1. Tính giá trị của biểu thức

$$\begin{gathered} S=\left({\log }_z\left(\frac{z}{y}\right)+{\log }_x\left(\frac{y}{z}\right)+{\log }_y\left(\frac{z}{x}\right)\right) \\ \left({\log }_{\frac{x}{y}}\left(z\right)+{\log }_{\frac{y}{z}}\left(x\right)+{\log }_{\frac{z}{x}}\left(y\right)\right) \end{gathered}$$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với cạnh $a\sqrt{3};\widehat{BAD}={120}^o$ và cạnh bên SA$\perp$(ABCD). Biết số đo của góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABCD ) bằng ${60}^o$. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và SC.

Tìm số nghiệm của phương trình $2{\log }_3\left(cotx\right)={\log }_2\left(\cos \left(x\right)\right)$ trong đoạn $\left[\frac{\mathrm{\pi }}{3};2\mathrm{\pi }\right]$

Chu kì bán rã của Cacbon ${}^{14}C$ là khoảng 5730 năm. Người ta tìm một mẫu đồ cổ một lượng Cacbon và xác định nó đã mất 25% lượng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu? (lấy gần đúng).

Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

* Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

* Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu $V_1$ là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và $V_2$ là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số $\sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$

Tìm giá trị của m để hàm số $y=\frac{x+m}{\sqrt{x^2+1}}$ đồng biến trong khoảng $\left(0;+\infty \right)$

Cho biết hàm số $f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x^2+1}$ đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng -1. Tính giá trị của ${\left(a^2+b^3-44\right)}^{n^2+n+2017}$; $\forall n\in N$

Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{\left(2m-1\right)x+1}{x-m}$ có tiệm cận ngang là y = 3

Đồ thị hàm số y = f(x) = $x^3+a{x}^2+bx+c$ có hai điểm cực đại là A ( -2;16 ) và B ( 2;-16 ). Tính a + b + c

Giả sử M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = $\left|x^3-9x^2+24x-68\right|$ trên đoạn [ -1;4 ]. Khi đó giá trị $\frac{m}{M}$ bằng

Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn  xy = 4; $x\ge \frac{1}{2}$; $y\ge 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P={\left({\log }_{\frac{1}{2}}\left(x\right)\right)}^3+{\left({\log }_{\frac{1}{2}}\left(y-1\right)\right)}^3$

Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) đi qua điểm M ( 1;4;-1 ) và tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ.

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left\{\begin{array}{l}\left(P\right):y=x^2-6x+5\\ Ox:y=0\end{array}\right.$ khi quay quanh trục Oy

Trong các mệnh đề  sau, mệnh đề nào sai?