Để tính diện tích xung quanh của một khối cầu bằng đá, người ta thả nó vào một chiếc thùng hình trụ có chiều cao 2m, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy bằng 0,5 m và chứa một lượng nước có thể tích bằng $\frac{1}{8}$ thể tích khối trụ. Sau khi thả khối cầu bằng đá vào khối trụ người ta đo được mực nước trong khối trụ cao gấp ba lần mực nước ban đầu khi chưa thả khối cầu. Hỏi diện tích xung quanh của khối cầu gần bằng với kết quả nào được cho dưới đây?

Đồ thị của hàm số $y=\left|x^4-8x^3+22x^2-24x+6\sqrt{2}\right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số g(x)=f(2–x)–2?

I. Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (–4;–2).

II. Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).

III. Hàm số g(x) đạt cực tiểu tại điểm –2.

IV. Hàm số g(x) có giá trị cực đại bằng –3.

Xét số thực $m=-{\log }_2{\log }_2\sqrt{\sqrt{\mathrm{...}\sqrt{2}}}$, biểu thức có 2021 dấu căn thức. Phương trình $x^m+x=m^m$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $\left|\overline{z}-4+3i\right|=2$ là đường tròn có tâm I, bán kính R. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn là

Cho đường cong (C):$y = 8x–27x^3$ và đường thẳng $y=m$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng (gạch sọc và kẻ caro) có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S₁) có tâm I(2;1;0), bán kính bằng 3 và mặt cầu (S₂) có tâm J(0;1;0), bán kính bằng 2. Đường thẳng Δ thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu (S₁), (S₂). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm A(1;1;1) đến đường thẳng Δ. Giá trị tổng M+m bằng

Phương trình $9^x–3.3^x+2 = 0$ có hai nghiệm x₁, x₂ (x₁<x₂). Giá trị biểu thức A = 2x₁+3x₂ là

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [–2019;2019] sao cho hàm số $y=\left|x^3-6x^2+\left(9-m\right)x+2m-2\right|$ có 5 điểm cực trị?

Cho hình chóp S.ABC có $SC=a\sqrt{2}$, tam giác SAB đều cạnh a và tam giác SAC vuông tại A. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là

Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = –20(1+2t)^–2 (m/s²). Khi t=0 thì vận tốc của vật là 30m/s. Quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc H của S nằm trong hình vuông ABCD. Hai mặt phẳng (SAD), (SBC) vuông góc với nhau. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC) bằng 60°, góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAD) bằng 45°. Biết rằng khoảng cách từ H tới (SAB) bằng a. Thể tích khối chóp S.ABCD là

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0;3], thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}f\left(3-x\right).f\left(x\right)=1\\ f\left(x\right)\ne -1\end{array}\right.$ với mọi $x\in \left[0;3\right]$ và $f\left(0\right)=\frac{1}{2}$. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{x{f}^{\text{'}}\left(x\right)}{{\left[1+f\left(3-x\right)\right]}^2.f^2\left(x\right)}dx$

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Thể tích V của khối chóp A.GBC là

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0;2] có đồ thị như hình vẽ. Biết S₁, S₂ có diện tích lần lượt là 1 và 5. Tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, $AC=2\sqrt{3}a, BD=2a$; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp S.ABC bằng