Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình $m=lo{g}_2\left(\frac{2^{x+4}-16}{2^x+1}\right)$ có nghiệm.

Có bao nhiêu số dương m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3-3x+1$ trên đoạn [m+1;m+2] bằng 53.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x+2y-z+9=0 và mặt cầu (S):$x^2+y^2+z^2$$+2x-4y-4z-40=0$. Biết rằng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Mặt cầu (T ) đi qua điểm M(1;-5;2) và chứa đường tròn (C) có bán kính bằng

Cho tập A={1,2,3,...,100}. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 99. Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc S. Xác suất để chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số cộng bằng

Một hình vuông $C_1$ cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông $C_2$ (như hình vẽ bên). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3$,... Gọi Si là diện tích của các hình vuông $C_i$ (i=1,2,...). Tìm a biết $S_1+S_2+...+S_n+...=96$.

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm cạnh DD′ (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai đường thẳng CB′ và MC′ bằng

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng

Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền lớn hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng qua điểm M(1;2;3) và chứa trục Ox là

Thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=AD=2,AA'=3 là

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(3;5;-1),B(0;-1;8),C(-1;-7;3),D(1;0;2) và điểm M(1;1;5). Mặt phẳng (P):ax+by+cz-14=0 qua hai điểm D,M cắt cạnh AC và (P) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Giá trị của biểu thức a+b+c bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn với mọi $x,y,\alpha ,\beta \in [0;1]$ và ${\alpha }^2+{\beta }^2>0$ ta có $\alpha f\left(x\right)+\beta f\left(y\right)$$\ge (\alpha +\beta )f\left(\frac{\alpha x+\beta y}{\alpha +\beta }\right)$. Biết f(0)=0, ${\int }_0^{\frac{1}{2}}f\left(x\right)dx=2$. Giá trị nhỏ nhất của tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, mặt bên tạo với đáy góc $75°$. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB và tạo với đáy góc $45°$ chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S bằng

Cho hàm số f(x) có đồ thị của hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên và f(-2)=f(2)=0. Hàm số $y=\left(f\right(3-x){)}^2$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị (C). Gọi A,B là hai điểm thuộc hai nhánh của (C) và các tiếp tuyến của (C) tại A,B cắt các đường tiệm cận ngang và đứng của (C) lần lượt tại các điểm M,N,P,Q (tham khảo hình vẽ bên). Diện tích tứ giác MNPQ có giá trị nhỏ nhất bằng