Câu hỏi:
17/06/2026 311Có bao nhiêu cặp số nguyên dương\(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn:\(2y{.2^x} = {\log _2}\left( {1 + \frac{{2x}}{y}} \right) + 2y + 3x\)
A. 1.
B. 2.
C. 10.
D. 4.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(2y{.2^x} = {\log _2}\left( {1 + \frac{{2x}}{y}} \right) + 2y + 3x\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2y{.2^x} = {\log _2}\left( {y + 2x} \right) - {\log _2}y + 2y + 3x\\ \Leftrightarrow y{.2^{x + 1}} + {\log _2}y + \left( {x + 1} \right) = 1 + {\log _2}\left( {y + 2x} \right) + 2y + 4x\\ \Leftrightarrow y{.2^{x + 1}} + {\log _2}\left( {y{{.2}^{x + 1}}} \right) = {\log _2}\left( {2y + 4x} \right) + \left( {2y + 4x} \right)\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)
Ta thấy \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) đồng biến trên \((0; + \infty )\) nên
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow y{.2^{x + 1}} = 2y + 4x \Leftrightarrow y{.2^x} = y + 2x \Rightarrow {2^x} = 1 + \frac{{2x}}{y}\) (2)
Do ynguyên dương nên \(1 + \frac{{2x}}{y} \le 1 + 2x\) (3)
Từ (2) và (3) ta có: \({2^x} \le 1 + 2x\) (4)
Xét \(f\left( x \right) = {2^x} - 2x - 1,\,\,x >0\)
\(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 2 >0\,\,,\forall x \ge 3\)\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 3 \right) = {2^3} - 2.3 - 1 >0\,\,\forall x \ge 3\)
Suy ra \({2^x} - 2x - 1 >0\,\,\forall x \ge 3\)
Từ (4) và do x nguyên dương nên từ\({2^x} \le 1 + 2x \Rightarrow x \in \left\{ {1;2} \right\}\)
Thay \(x = 1\) vào (2) ta có \(y = 2\).
Thay \(x = 2\) vào (2) ta có \(y = \frac{4}{3}\)
Vậy có một cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\)thỏa đề là: \(\left( {1;2} \right)\).
Nhận xét:
Kiên thức sử dụng:
1. Hàm sử dụng hàm đặc trưng để suy ra biểu thức quan hệ giữa x, y đơn giản hơn.
2. Sử dụng đánh giá bất đẳng thức cơ bản để thu hẹp miền x, y rồi thay vào tìm trực tiếp.
Chọn đáp án A
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, biết \[AB = 2a,\,\,AD = a,\,\,SA = 3a\] và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(CD\), điểm \(E \in SA\)sao cho \(SE = a\), cosin của góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {BME} \right)\) bằng
Câu 2:
Trong không gian, cho tam giác \[ABC\] vuông tại cân \[A\], gọi \[I\]là trung điểm của \[BC\], \[BC = 2\].Tính diện tích xung quanh của hình nón, nhận được khi quay tam giác \[ABC\] xung quanh trục \[AI\].
Câu 3:
Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi với các đường chéo là \(6cm\) và \(8cm\)biết rằng chu vi đáy bằng \(2\) lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích khối lăng trụ.
Câu 4:
Cho hàm số \(y = \frac{{ax - 2}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Mệnh đề nào sau đây đúng
Câu 5:
Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có diện tích toàn phần bằng 54 . Thể tích của khối lập phương đã cho bằng
Câu 6:
Cho hai hàm số đa thức bậc bốn \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\)có đồ thị như hình vẽ, trong đó đường đậm hơnlà đồ thị hàm số \(y = f(x)\). Biết rằng hai đồ thị này tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ là \( - 3\) và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là \( - 1\) và \(3\). Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 12;12} \right]\) để bất phương trình \(f(x) \ge g(x) + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in {\rm{[}} - 3;3]\)?
Câu 7:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 3\). Tính \({u_3}\).
Câu 8:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAD\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AC} \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SI\) và \(AC\) là
Câu 9:
Gọi \[S\] là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \left| {m\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - 5m + 1} \right|\] trên đoạn \[\left[ {\,0\,;\,3\,} \right]\] bằng 7. Tổng các phần tử của \[S\] bằng
Câu 11:
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 6z - 11 = 0\). Tọa độ tâm mặt cầu\(\left( S \right)\,\)là \(I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\). Tính \(a + b + c\)?
Câu 12:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) + 1 = 0\) là
Câu 13:
Với\(a,b\)là hai số thực dương và \(a \ne 1\), thì\({\log _{{a^3}}}{b^6} + {\log _a}{b^2}\)bằng
Câu 14:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
Câu 15:
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} - \frac{2}{{{x^2}}}\) là
![Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2^ f(x) + 4/ f(x) + log 2 [f^2(x) - 4f(x) + 5] = m có 6 nghiệm thực phân biệt? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/05/blobid5-1683269005.png)
![Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên của f'(x) như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn [-2022;2023] để hàm số g(x) = f(x^3/9) - m(x^2 + 9)^2/18 nghịch biến trên khoảng (0;5)? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/05/blobid3-1683268811.png)