Câu hỏi:
17/06/2026 227
Chứng minh rằng \(\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}} = 0\).
Chứng minh rằng \(\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}} = 0\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét dãy số (un) có \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\).
Giả sử h là số dương bé tùy ý cho trước. Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}} \right| = \frac{1}{{{n^2}}}\).
Do đó, \(\left| {{u_n}} \right| < h \Leftrightarrow \frac{1}{{{n^2}}} < h \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \sqrt h \Leftrightarrow n > \frac{1}{{\sqrt h }}\).
Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn \(\frac{1}{{\sqrt h }}\) thì |un| < h.
Suy ra \(\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}} = 0\).
Xét dãy số (un) có \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\).
Giả sử h là số dương bé tùy ý cho trước. Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}} \right| = \frac{1}{{{n^2}}}\).
Do đó, \(\left| {{u_n}} \right| < h \Leftrightarrow \frac{1}{{{n^2}}} < h \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \sqrt h \Leftrightarrow n > \frac{1}{{\sqrt h }}\).
Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn \(\frac{1}{{\sqrt h }}\) thì |un| < h.
Suy ra \(\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}} = 0\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{{n^3} - 5n + 1}}{{3{n^2} - 4n + 2}}\);
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{{n^3} - 5n + 1}}{{3{n^2} - 4n + 2}}\);
Câu 2:
Cho limun = a, lim vn = b. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. lim(un + vn) = a + b.
B. lim(un – vn) = a – b.
C. lim(un . vn) = a . b.
D. \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{a - b}}{b}\).
Cho limun = a, lim vn = b. Phát biểu nào sau đây là sai?
A. lim(un + vn) = a + b.
B. lim(un – vn) = a – b.
C. lim(un . vn) = a . b.
D. \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{a - b}}{b}\).
Câu 3:
Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Nếu limun = +∞ và limvn = C, C > 0 thì lim\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) = +∞.
B. Nếu limun = −∞ và limvn = C, C < 0 thì lim\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) = +∞.
C. Nếu limun = +∞ và limvn = C, C < 0 thì lim\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)= 0.
D. Nếu limun = –∞ và limvn = C, C > 0 thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = - \infty \).
Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Nếu limun = +∞ và limvn = C, C > 0 thì lim\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) = +∞.
B. Nếu limun = −∞ và limvn = C, C < 0 thì lim\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) = +∞.
C. Nếu limun = +∞ và limvn = C, C < 0 thì lim\(\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)= 0.
D. Nếu limun = –∞ và limvn = C, C > 0 thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = - \infty \).
Câu 4:
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{3n + 4}}{{ - 5 + \frac{2}{n}}}\);
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{3n + 4}}{{ - 5 + \frac{2}{n}}}\);
Câu 5:
Cho hai dãy số (un), (vn) với \({u_n} = 3 - \frac{4}{{n + 1}}\), \({v_n} = 8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}\). Tính:
lim(un + vn), lim(un – vn), lim(un . vn), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\).
Cho hai dãy số (un), (vn) với \({u_n} = 3 - \frac{4}{{n + 1}}\), \({v_n} = 8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}\). Tính:
lim(un + vn), lim(un – vn), lim(un . vn), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\).
Câu 6:
Phát biểu nào sau đây là sai?
A. \(\lim \frac{1}{{{2^n}}} = 0\).
B. \(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} = 0\).
C. \(\lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}} = 0\).
D. \(\lim {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0\).
Phát biểu nào sau đây là sai?
A. \(\lim \frac{1}{{{2^n}}} = 0\).
B. \(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} = 0\).
C. \(\lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}} = 0\).
D. \(\lim {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} = 0\).
Câu 7:
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu limun = a thì \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).
B. Nếu limun = a thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).
C. Nếu limun = a thì a ≥ 0.
D. Nếu un ≥ 0 với mọi n và limun = a thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu limun = a thì \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).
B. Nếu limun = a thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).
C. Nếu limun = a thì a ≥ 0.
D. Nếu un ≥ 0 với mọi n và limun = a thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).
Câu 8:
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi hn là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (hn).
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi hn là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (hn).
Câu 9:
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với \({u_1} = \frac{5}{4},q = - \frac{1}{3}\).
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với \({u_1} = \frac{5}{4},q = - \frac{1}{3}\).
Câu 10:
Nếu limun = C và limvn = +∞ (hoặc limvn = −∞) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) bằng:
A. 0.
B. –∞.
C. +∞.
D. –∞ hoặc +∞.
Nếu limun = C và limvn = +∞ (hoặc limvn = −∞) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) bằng:
A. 0.
B. –∞.
C. +∞.
D. –∞ hoặc +∞.
Câu 11:
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} }}{{8n + 3}}\);
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} }}{{8n + 3}}\);
Câu 12:
Cho hai dãy số (un), (vn) với \({u_n} = 3 - \frac{4}{{n + 1}}\), \({v_n} = 8 - \frac{5}{{3{n^2} + 2}}\). Tính:
limun, limvn;
Câu 13:
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi hn là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.
Tính giới hạn của dãy số (hn) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (hn).
Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng \(\frac{1}{4}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi hn là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.
Tính giới hạn của dãy số (hn) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (hn).
Câu 14:
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{ - 4n + 1}}{{9{n^2} - n + 2}}\);
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{ - 4n + 1}}{{9{n^2} - n + 2}}\);
Câu 15:
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{{4^n} + {5^n}}}{{{{3.4}^n} - {{4.5}^n}}}\).
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{{4^n} + {5^n}}}{{{{3.4}^n} - {{4.5}^n}}}\).
