Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0.

Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vô tuyến là C(Q) = Q² + 80Q + 3 500.

a) Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ Q sản phẩm lên Q + 1 sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số C’(Q). Tìm hàm chi phí biên.

Cho hàm y = –2x² + x có đồ thị (C).

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x³ – 1 tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; – 6).

b) Tìm C’(90) và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), một điểm M₀ cố định thuộc (C) có hoành độ x₀. Với mỗi điểm M thuộc (C) khác M₀, kí hiệu x_M là hoành độ của điểm M và k_M là hệ số góc của cát tuyến M₀M. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn $k_0=\underset{x_M\to x_0}{\lim }{k}_M.$ Khi đó, ta coi đường thẳng M₀T đi qua M₀ và có hệ số góc k₀ là vị trí giới hạn của cát tuyến M₀M khi điểm M di chuyển dọc theo (C) dần tới M₀.

Đường thẳng M₀T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀, còn M₀ được gọi là tiếp điểm (Hình 3).

a) Xác định hệ số góc k₀ của tiếp tuyến M₀T theo x₀.

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M₀.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$ tại điểm N(1; 1).

Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm x₀ =1 (s) trong bài toán tìm vận tốc tức thời nêu ở trên.

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ tại x₀ = 2 bằng định nghĩa.

Tên lửa vũ trụ là phương tiện được chế tạo đặc biệt giúp con người thực hiện các sứ mệnh trong không gian như: tiếp cận đến các hành tinh ngoài Trái Đất, vận chuyển con người và thiết bị lên vũ trụ, ... (Hình 1).

Nếu quỹ đạo chuyển động của tên lửa được miêu tả bằng hàm số theo thời gian thì đại lượng nào biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động tại một thời điểm?