Cho tứ diện đều ABCD có mặt cầu nội tiếp là $\left(S_1\right)$ và mặt cầu ngoại tiếp là $\left(S_2\right)$ . Một hình lập phương ngoại tiếp $\left(S_2\right)$và nội tiếp trong mặt cầu $\left(S_2\right)$ . Gọi $r_1,r_2,r_3$ lần lượt là bán kính các mặt cầu $\left(S_1\right),\left(S_2\right),\left(S_3\right)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn $\left[0;2018\right]$ sao cho ba số $5^{x+1}+5^{1-x},\frac{a}{2},{25}^x+{25}^{-x},$ theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng?

Từ các chữ số thuộc tập hợp $S=\left\{1,2,3,\mathrm{...},8,9\right\}$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 đứng trước chữ số 2, chữ số 3 đứng trước chữ số 4 và chữ số 5 đứng trước chữ số 6?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = 2, SB = 6, SC = 9. Độ dài cạnh SD là

Với n là số nguyên dương, đặt $S_n=\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\mathrm{...}$$+\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}}.$ Khi đó, $\lim S_n$  bằng

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn ${\log }_{a}b=\frac{3}{2},{\log }_{c}d=\frac{5}{4}$ . Nếu $a-c=9$ , thì $b-d$ nhận giá trị nào? 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+6y+8z-599=0$ Biết rằng mặt phẳng $\left(\alpha \right):6x-2y+3z+49=0$ cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm là điểm $P(a;b;c)$  và bán kính đường tròn (C) là r. Giá trị của tổng $S=a+b+c+r$ là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  để hàm số $y=x^2(m-x)-m$ đồng biến trên khoảng $(1;2)$?

Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình

$\sin \left(\frac{x}{x^2+6}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}+\frac{80}{x^2+32x+332}\right)=0?$

Cho hàm số $y=\frac{x-m^2}{x+1}$ (với m là tham số khác 0) có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và hai trục tọa độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thỏa mãn S = 1?

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và $\forall x\in \left[0;2018\right]$, ta có $f\left(x\right)>0$ và $f\left(x\right).f(2018-x)=1$ . Giá trị của tích phân $I=\underset{0}{\overset{2018}{\int }}\frac{1}{1+f\left(x\right)}dx$ là

Cho x, y là các số thực thỏa mãn ${(x-3)}^2+{(y-1)}^2=5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{3y^2+4xy+7x+4y-1}{x+2y+1}$ là

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB= 4, BC=6; chiều cao của lăng trụ bằng 10. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh $B{B}_1,A_1{B}_1,BC$ . Thể tích của khối tứ diện $C_{1}KMN$ là

Ba quả bóng dạng hình cầu có bán kính bằng 1 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Mặt cầu (S) bán kính bằng 2 tiếp xúc với ba quả bóng trên. Gọi M là điểm bất kì trên (S), MH là khoảng cách từ M  đến mặt phẳng (P). Giá trị lớn nhất của MH là

Có bao nhiêu giá trị của tham số m thỏa mãn đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{x^2-x-m}$ có đúng hai đường tiệm cận?

Gieo ba con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba mặt lập thành một cấp số cộng với công sai bằng 1 là