Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là các điểm thuộc ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, AD cắt EG tại H. Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm.

* Phương pháp giải:

 

- Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể làm theo những cách sau:

 + Cách 1: chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba

+ Cách 2: Dựa vào định lí: Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến khi đó; ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song

 

* Lời giải:

 

Gọi O là giao điểm của HF và IG.

Ta có:

⦁ O ∈ HF, mà HF ⊂ (ACD), suy ra O ∈ (ACD);

⦁ O ∈ IG, mà IG ⊂ (BCD), suy ra O ∈ (BCD).

Do đó, O ∈ (ACD) ∩ (BCD) (1)

Mặt khác, (ACD) ∩ (BCD) = CD (2)

Từ (1) và (2), suy ra O ∈ CD.

Lại có O = HF ∩ IG nên O là giao điểm của ba đường thẳng CD, IG, HF.

Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm.

* Một số lý thuyết và bài tập liên quan: 

- Định nghĩa về ba đường thẳng đồng quy được diễn giải như sau: “Cho ba đường thẳng lần lượt là a, b, c không trùng với nhau. Nếu ba đường thẳng a,b,c cùng đi qua một điểm O nào đó thì ta sẽ gọi đó là đồng quy.

VD: Cho ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải:

Gọi d₁, d₂, d₃ là ba đường thẳng đã cho.

Gọi $I=d_1\cap d_2$ suy ra  $\left\{\begin{array}{l}I\in d_1\\ I\in d_2\end{array}\right.$

Ta chứng minh $I\in d_3$. Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d₁, d₃.

(γ) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d₂, d₃.

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và (γ) phân biệt.

Ngoài ra $\left\{\begin{array}{l}{d}_3\subset \left(\beta \right)\\ d_3\subset \left(\gamma \right)\end{array}\right.$ suy ra $\left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)=d_3$

$I\in d_1\subset \left(\beta \right)$ suy ra  $I\in \left(\beta \right)=\left(d_1,d_3\right)$

$I\in d_2\subset \left(\gamma \right)$ suy ra  $I\in \left(\gamma \right)=\left(d_2,d_3\right)$

Từ đó suy ra,  $I\in \left(\beta \right)\cap \left(\gamma \right)=d_3$

Vậy d₁, d₂, d₃ đồng quy.

Cách khác:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau d₁, d₂

Goi $d_3\cap d_1=M;d_3\cap d_2=N$.

$M\in d_1$, mà $d_1\subset \left(P\right)$ suy ra $M\in \left(P\right)$

$N\in {\text{d}}_2$, mà ${\text{d}}_2\subset \left(\text{P}\right)$ suy ra $\text{N}\in \left(\text{P}\right)$

Nếu $\text{M}\ne \text{N}$ suy ra d₃ có hai điểm M, N cùng thuộc (P)

Suy ra $d_3\subset \left(P\right)$

Suy ra d₁, d₂, d₃ đồng phẳng (trái với giả thiết d₁, d₂, d₃ không đồng phẳng)

Suy ra $M\equiv N$ là điểm thuộc cả d₁, d₂, d₃

Vậy d₁, d₂, d₃ đồng quy.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng có đáp án (Nhận biết)

100 câu trắc nghiệm Đường thẳng, Mặt phẳng trong không gian nâng cao (phần 1) 

50 bài tập Đại cương về đường thẳng (có đáp án 2024) và cách giải