Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC và có thể tích $V_1$. Gọi $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác $B_1{C}_1{D}_1,C_1{D}_1{A}_1,D_1{A}_1{B}_1,A_1{B}_1{C}_1$ và có thể tích $V_2$ … cứ như vậy cho tứ diện $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$ có thể tích $V_n$ với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Tính giá trị của biểu thức $P=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(V+V_1+\mathrm{...}+V_n\right).$

Đặt $a={\log }_{2}3;b={\log }_{3}5.$

Biểu diễn ${\log }_{20}12$ theo a, b.

Cho khai triển:

$P\left(x\right)=\left(1+x\right)\left(1+2x\right)..\left(1+2017x\right)=a_0+a_{1}x+..+a_{2017}{x}^{2017}$.

Tính giá trị biểu thức $T=a_2+\frac{1}{2}\left(1^2+2^2+\mathrm{...}+{2017}^2\right).$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD). Biết AB=a, BC=3a, SA=2a.Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Cho biểu thức $P=\sqrt[5]{x^3\sqrt[3]{x^2\sqrt{x}}}$ với $x>0.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho lăng trụ ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC=2a. Biết lăng trụ có thể tích $V=2a^3$ tính khoảng cách d giữa hai đáy của lăng trụ theo a.

Tìm m để hàm số $y=\frac{2\cos x+1}{\cos x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\pi \right)$

Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 

Cho ba số thực dương x,y,z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực dương $a\left(a\ne 1\right)$ thì ${\log }_{a}x,{\log }_{\sqrt{a}}y,{\log }_{\sqrt[3]{a}}z$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Tính giá trị biểu thức $P=\frac{1959x}{y}+\frac{2019y}{z}+\frac{60z}{x}.$

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=2x^3+4x+2.$ tại điểm có hoành độ bằng 0

Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

Cho tứ diện đều cạnh a, điểm I nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ I đến tất cả các mặt của tứ diện.

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^4-2x^2+3.$Tính diện tích S tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Tính giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^3-3x^2+1.$

Trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ phương trình:

${\sin }^{2}4x+3\sin 4\cos 4x-4{\cos }^{2}4x=0$ có bao nhiêu nghiệm?