Câu hỏi:
17/06/2026 261
Cho tam giác T1 có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác T2 đồng dạng với tam giác T1, tam giác T3 đồng dạng với tam giác T2, ..., tam giác Tn đồng dạng với tam giác Tn – 1 với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\,\left( {k > 1} \right)\). Khi n tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo k.
Cho tam giác T1 có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác T2 đồng dạng với tam giác T1, tam giác T3 đồng dạng với tam giác T2, ..., tam giác Tn đồng dạng với tam giác Tn – 1 với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\,\left( {k > 1} \right)\). Khi n tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo k.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi diện tích các tam giác T1; T2; ...; Tn – 1; Tn lần lượt là S1; S2; ...; Sn – 1; Sn.
Vì tam giác Tn đồng dạng với tam giác Tn – 1 với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\,\) nên diện tích tam giác Tn bằng \(\frac{1}{{{k^2}}}\) diện tích tam giác Tn – 1 hay \({S_n} = \frac{1}{{{k^2}}}{S_{n - 1}}\).
Vì k > 1 nên \(\frac{1}{{{k^2}}} < 1\). Vậy S1; S2; ...; Sn – 1; Sn; ... lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu S1 = 1 và công bội \(q = \frac{1}{{{k^2}}}\).
Khi đó, tổng diện tích của tất cả các tam giác nếu n tiến tới vô cùng là:
S = S1 + S2 + ... + Sn – 1 + Sn + ... = \(\frac{1}{{1 - \frac{1}{{{k^2}}}}} = \frac{{{k^2}}}{{{k^2} - 1}}\).
Gọi diện tích các tam giác T1; T2; ...; Tn – 1; Tn lần lượt là S1; S2; ...; Sn – 1; Sn.
Vì tam giác Tn đồng dạng với tam giác Tn – 1 với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\,\) nên diện tích tam giác Tn bằng \(\frac{1}{{{k^2}}}\) diện tích tam giác Tn – 1 hay \({S_n} = \frac{1}{{{k^2}}}{S_{n - 1}}\).
Vì k > 1 nên \(\frac{1}{{{k^2}}} < 1\). Vậy S1; S2; ...; Sn – 1; Sn; ... lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu S1 = 1 và công bội \(q = \frac{1}{{{k^2}}}\).
Khi đó, tổng diện tích của tất cả các tam giác nếu n tiến tới vô cùng là:
S = S1 + S2 + ... + Sn – 1 + Sn + ... = \(\frac{1}{{1 - \frac{1}{{{k^2}}}}} = \frac{{{k^2}}}{{{k^2} - 1}}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ne 2\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x = 2\end{array} \right.\).
Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x \ne 2\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\^e 'u\,\,x = 2\end{array} \right.\).
Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ.
Câu 3:
Một bể chứa 5 000 l nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25 l/phút.
Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau t phút (tính bằng khối lượng muối chia thể tích nước trong bể, đơn vị: g/l) là \(C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{200 + t}}\).
Một bể chứa 5 000 l nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25 l/phút.
Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau t phút (tính bằng khối lượng muối chia thể tích nước trong bể, đơn vị: g/l) là \(C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{200 + t}}\).
Câu 4:
Cho limun = 2, limvn = 3. Khi đó, lim(un + vn) bằng:
A. 6.
B. 5.
C. 1
D. 2.
Cho limun = 2, limvn = 3. Khi đó, lim(un + vn) bằng:
A. 6.
B. 5.
C. 1
D. 2.
Câu 5:
Một bể chứa 5 000 l nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25 l/phút.
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả đó.
Một bể chứa 5 000 l nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25 l/phút.
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right)\) và cho biết ý nghĩa của kết quả đó.
Câu 6:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{4}{{3x}}}}{{{x^2} - 1}}\);
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{4}{{3x}}}}{{{x^2} - 1}}\);Câu 7:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}}\);
Tính các giới hạn sau:
Câu 8:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 2}}\);
Tính các giới hạn sau:
Câu 9:
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{{3^n} + {{4.9}^n}}}{{{{3.4}^n} + {9^n}}}\).
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \frac{{{3^n} + {{4.9}^n}}}{{{{3.4}^n} + {9^n}}}\).
Câu 10:
Quan sát đồ thị hàm số trong Hình 9 và cho biết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\) bằng:
A. 2.
B. 1.
C. +∞.
D. –∞.
Quan sát đồ thị hàm số trong Hình 9 và cho biết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\) bằng:
A. 2.
B. 1.
C. +∞.
D. –∞.Câu 11:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{ - 5 + x}}{{x + 3}}\);
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{ - 5 + x}}{{x + 3}}\);
Câu 12:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 1}}\);
Tính các giới hạn sau:
Câu 13:
Tính các giới hạn sau:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{x^2} + 3x - 18}}\).
Tính các giới hạn sau:
Câu 14:
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \left( {2 + \frac{7}{{{4^n}}}} \right)\);
Tính các giới hạn sau:
\(\lim \left( {2 + \frac{7}{{{4^n}}}} \right)\);Câu 15:
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 5\). Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2f\left( x \right)\) bằng:
A. 5.
B. 2.
C. 10.
D. 7.
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 5\). Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2f\left( x \right)\) bằng:
A. 5.
B. 2.
C. 10.
D. 7.
