Cho phương trình ax² +bx +c=0 biết a#0 và 5a +4b+6c=0 chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm

Lời giải

PT đã cho có hai nghiệm khi mà $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac>0$

Theo điều kiện đề bài ta có:

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac={\left(\frac{-6c-5a}{4}\right)}^2-4ac=\frac{(5a+6c{)}^2-64ac}{16}$

$\iff \mathrm{\Delta }=\frac{25a^2+36c^2-4ac}{16}=\frac{24a^2+(a-2c{)}^2+32c^2}{16}$

Vì $a\ne 0\Rightarrow 24a^2+(a-c{)}^2+32c^2>0\Rightarrow \mathrm{\Delta }>0$

Do đó PT trên có hai nghiệm phân biệt.

*Phương pháp giải:

Tính $\Delta =b^2-4ac$ ( hoặc $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac$ với $b\text{'}=\frac{b}{2}$)

+ Với $\Delta >0$ ($\Delta \text{'}>0$) phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$; $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

$\left(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}\right)$

*Lý thuyết:

- Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $a{x}^2+bx+c=0$($a\ne 0$). Ta có: $\Delta =b^2-4ac$ là biệt thức của phương trình (còn có $\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac$ với $b\text{'}=\frac{b}{2}$)

- Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$):

+ Với $\Delta >0$ ($\Delta \text{'}>0$) phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$; $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

$\left(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}\right)$

+ Với $\Delta =0$ ($\Delta \text{'}=0$) phương trình có nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}\left(x_1=x_2=\frac{-b\text{'}}{a}\right)$

+ Với $\Delta <0$ ($\Delta \text{'}<0$) phương trình vô nghiệm.

- Định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai một ẩn $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

- Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì u và v là các nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$.

- Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ${\text{ax}}^4+b{x}^2+c=0$ ($a\ne 0$)

- Chú ý:

+ Cho phương trình bậc hai một ẩn $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$).

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $x_1=1,x_2=\frac{c}{a}$.

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $x_1=-1,x_2=-\frac{c}{a}$.

+ Phân tích đa thức thành nhân tử: Cho đa thức P (x) = $a{x}^2+bx+c$, nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình P(x) = 0 thì đa thức $P\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Xem thêm

Các phương trình về phương trình bậc hai và cách giải bài tập hay nhất 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình bậc hai với hệ số thực (có đáp án ) - Toán 12