Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a; chiều cao bằng 2a . Mặt phẳng (P) qua B’ và vuông góc A’C chia lăng trụ thành hai khối. Tính khoảng cách từ điểm A đến (P).

Cho $\alpha$ là góc thỏa $\sin \alpha =\frac{1}{4}$. Tính giá trị của biểu thức $A=\left(\sin 4\alpha +2\sin 2\alpha \right)\cos \alpha$

Tìm phương trình mặt phẳng (R) đối xứng với mặt phẳng (Q) qua mặt phẳng (P) với $\left(P\right): \mathrm{x}+y+z-3=0$, $\left(Q\right): \mathrm{x}-y-z-4=0$

Cho phương trình: $\left(2\sin x+1\right)+\left(3\cos 4x+2\sin x-4\right)+4{\cos }^{2}x=3$. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là

Tìm các giới hạn sau: Giới hạn $\lim \frac{1-2.3^{n-2}}{2^n-12.3^{n-1}}$ 

bằng $\frac{a}{b}$ (phân số tối giản). Giá trị $A=b-17a-\frac{a}{b}$ là:

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng $4\sqrt{5}$(m). Trên đó có người thiết kế hai phần để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên những đường tròn (phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng 4(m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 300.000 đồng/$m^2$. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết $A\left(1;0;1\right)$;$B\left(2;1;2\right)$; $D\left(1;-1;1\right)$;$C\text{'}\left(4;5;-5\right)$.Tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp là:

Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một mặt phẳng (P) chứa đỉnh S và giao tuyến với mặt phẳng đáy là AB. Khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt phẳng (P) là 12 cm. Khi đó diện tích thiết diện của (P) với khối nón bằng:

Cho hàm số $\sqrt{-x^2+4x-3}+\sqrt{-x^2+6x=8}$. Tập xác định của hàm số là:

Tìm giá trị của x để hàm số có nghĩa: $y=\frac{1}{\sqrt{{{\log }_2}^2\left(x+1\right)-{\log }_2\left(x^2+2x+1\right)-3}}$ 

Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường X có 40 học sinh đăng kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật lí và 20 học sinh chọn môn Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường X. Tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có học sinh chọn môn Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học?

Ta có: $C_{14}^k, C_{14}^{k+1},C_{14}^{k+2}$ lập thành cấp số công. Biết k có 2 giá trị là a và b. Giá trị của ab là:

Tính tích phân $I={\int }_1^2\left(4x+3\right).\ln xdx=7\ln a+b$ . Tính $\sin \frac{\left(a+b\right)\mathrm{\pi }}{4}$

Cho hệ $\left\{\begin{array}{l}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x-y}+6{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{2x-y}{2}}-7\\ 3^{{\log }_9(x-y)}=1\end{array}\right.$ . Khẳng định nào sau đây đúng ?

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{2}^x.9^y=36\\ 3^x.4^y=36\end{array}\right.$ có nghiệm (x ; y). Khi đó phát biểu nào sau đây đúng:

Giải phương trình $4^{2x}-24.4^x+128=0$ . Hỏi phương trình có mấy nghiệm?