Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (A’MN) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng bằng

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^2-4\text{x}+\frac{54}{x-2}$ trên khoảng (2;+∞).

Trong không gian Oxyz cho $\left(P\right):2m\text{x}+\left(m^2-1\right)y+\left(m^2+1\right)z+1=0$. Biết rằng tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với (P) và đi qua điểm $A\left(0;1;-1\right)$. Tổng hai bán kính của hai mặt cầu đó bằng

Miền phẳng trong hình vẽ giới hạn bởi y = f(x) và parabol $y=x^2-2\text{x}$. Biết $\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}=\frac{3}{4}$. Khi đó diện tích hình phẳng được tô trong hình vẽ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục và nhận giá trị dương trên (0;+∞) thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{f^2\left(x\right)}=\frac{1}{x^2}+\frac{2\text{x}{f}^{\text{'}}\left(x\right)}{f^3\left(x\right)}$ với mọi $x\in \left(1;+\infty \right)$ đồng thời f(2) = 1. Giá trị của f(4) là

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{2m\text{x}+m-2}{x+1}$ cắt đường thẳng $\left(d\right):y=x+3$ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 3, với I(−1;1). Tổng tất cả các phần tử của S bằng

Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=m{\text{x}}^4+n{\text{x}}^3+p{\text{x}}^2+q\text{x}+r$ trong đó $m,n,p,q,r\in ℝ$. Biết rằng hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ. Tập nghiệm của phương trình f(x) = r có tất cả bao nhiêu phần tử?

Một chậu nước hình nón cụt có chiều cao 3dm, bán kính đáy lớn là 2dm và bán kính đáy nhỏ là 1dm. Cho biết thể tích nước bằng $\frac{37}{189}$ thể tích của chậu, chiều cao của mực nước là

Cho phương trình $8^{x+1}+8.{\left(0,5\right)}^{3\text{x}}+{3.2}^{x+3}=125-24.{\left(0,5\right)}^x$. Khi đặt $t=2^x+\frac{1}{2^x}$, phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?

Kim tự tháp Maya (Pyramid Maya) được xây dựng bởi người Maya (một bộ tộc thổ dân châu Mỹ đã từng sinh sống 2.000 năm trước tại Mexico). Một kim tự tháp được thiết kế như sau:

Tầng thứ nhất là 1 viên đá hình lập phương.

Tầng thứ 2 có 1 viên đá trung tâm và 8 viên đá xung quanh tổng cộng có 9 viên đá.

Tầng thứ 3 có 9 viên đá trung tâm và 16 viên đá xung quanh tổng cộng có 25 viên đá.

Cứ tiếp tục như vậy cho đến các tầng tiếp theo.

Hỏi nếu một kim tự tháp có 15 tầng thì số lượng viên đá hình lập phương là

Cho hàm số y = f(x) là hàm chẵn, liên tục trên R và $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{{2020}^x+1}d\text{x}=29$. Khi đó $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}$ bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hàm số $g\left(x\right)=2f\left(x\right)-x^2$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Nếu ${\log }_{8}a+{\log }_4{b}^2=5$ và ${\log }_4{a}^2+{\log }_{8}b=7$ thì giá trị của ${\log }_2\left(ab\right)$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\left[-1;+\infty \right)$ và $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(\sqrt{x+1}\right)d\text{x}=4$. Tính $\underset{1}{\overset{2}{\int }}x.\left(f\left(x\right)+2\right)d\text{x}$

Cho đồ thị $\left(C\right):y=f\left(x\right)=\sqrt{x}$. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng x = 9 và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị (C) và điểm A(9;0). Gọi V₁ là thể tích khối tròn xoay khi cho (H) quay quanh trục Ox, V₂ là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox. Biết rằng $V_1=2V_2$. Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM.