Cho hpt mx+2y=18 và x-y=6

a) Tìm m để hpt có nghiệm (x, y) trong đó x=2

b) Tìm m để hpt có nghiệm duy nhất thoả mãn 2x+y=9

Lời giải

${\displaystyle a)}$

Thay ${\displaystyle x=2}$ vào hệ phương trình đã cho ta được :

${\displaystyle \{\begin{array}{l}m\cdot 2+2y=18\\ 2-y=6\end{array}}$

${\displaystyle \iff \{\begin{array}{l}y=-4\\ m-4=9\end{array}}$

${\displaystyle \iff \{\begin{array}{l}y=-4\\ m=13\end{array}}$

Vậy với ${\displaystyle m=13}$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất ${\displaystyle (x;y)=(2;-4)}$

${\displaystyle b)}$

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ${\displaystyle (x;y)}$

${\displaystyle \iff \frac{m}{1}\ne \frac{2}{-1}\iff m\ne -2}$

Ta có : ${\displaystyle \{\begin{array}{l}mx+2y=18\\ x-y=6\end{array}}$

${\displaystyle \iff \{\begin{array}{l}mx+2y=18\\ 2x-2y=12\end{array}}$

${\displaystyle \iff \{\begin{array}{l}x(m+2)=30\\ x-y=6\end{array}}$

${\displaystyle \iff \{\begin{array}{l}x=\frac{30}{m+2}\\ y=\frac{30}{m+2}-6\end{array}}$

${\displaystyle \iff \{\begin{array}{l}x=\frac{30}{m+2}\\ y=\frac{30-6m-12}{m+2}\end{array}}$

${\displaystyle \iff \{\begin{array}{l}x=\frac{30}{m+2}\\ y=\frac{-6m+18}{m+2}\end{array}}$

${\displaystyle \Rightarrow }$ Với ${\displaystyle m\ne -2}$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất ${\displaystyle (x;y)=(\frac{30}{m+2};\frac{-6m+18}{m+2})}$

Theo bài ra ta có : ${\displaystyle 2x+y=9}$

${\displaystyle \iff 2\cdot \frac{30}{m+2}+\frac{-6m+18}{m+2}=9}$

${\displaystyle \iff \frac{60-6m+18}{m+2}=\frac{9(m+2)}{m+2}}$

${\displaystyle \Rightarrow 78-6m=9m+18}$

${\displaystyle \iff 15m=60}$

${\displaystyle \iff m=4}$ (thỏa mãn)

Vậy ${\displaystyle m=4}$ là giá trị cần tìm

*Phương pháp giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}$;

*Lý thuyết:

I. Lý thuyết

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Xem thêm

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (mới + Bài Tập) – Toán 9

50 bài tập về Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án 2025)