Câu hỏi:
07/08/2026 48
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), gọi \(I,K\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(AB,CD\). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) tại điểm \(I\) lấy điểm \(S\), sao cho tam giác \(SAB\) đều.
a) Xác định và tính góc giữa đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\) theo \(a\).
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), gọi \(I,K\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(AB,CD\). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) tại điểm \(I\) lấy điểm \(S\), sao cho tam giác \(SAB\) đều.
a) Xác định và tính góc giữa đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\) theo \(a\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải.
a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\,\,\,\\AD \bot SI\,\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SA\).
\[ \Rightarrow SA\] là hình chiếu của \[SD\] lên mặt phẳng \[(SAB)\]
\[ \Rightarrow \]\(\left( {SD,(SAB)} \right) = \left( {SD,SA} \right) = \widehat {DSA} < 90^\circ \).
Vì \(SA = AD = a,SA \bot AD\) nên \[\Delta SAD\] vuông cân tại \[A\].
Vậy \[\left( {SD,\left( {SAB} \right)} \right) = \widehat {DSA} = 45^\circ \].
b) \[AB//CD \Rightarrow AB//(SCD) \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SCD} \right)} \right)\]
Có \[\left. \begin{array}{l}CD \bot IK\,\,\,\left( {IK//AD,CD \bot AD} \right)\\CD \bot SI\,\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SIK)\].
Hạ \(IM \bot SK\) tại \(M\).
Có \[\left. \begin{array}{l}CD \bot IM\,\,\,\left( {CD \bot \left( {SIK} \right)} \right)\\SK \bot IM\,\,\end{array} \right\} \Rightarrow IM \bot (SCD) \Rightarrow d(I,(SCD)) = IM\].
Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh a nên \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Có \(IK = AD = a\).
Xét \[\Delta SIK:\frac{1}{{I{M^2}}} = \frac{1}{{I{K^2}}} + \frac{1}{{I{S^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow IM = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].
Vậy \[d\left( {AB,SC} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].
Hướng dẫn giải.
a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\,\,\,\\AD \bot SI\,\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SA\).
\[ \Rightarrow SA\] là hình chiếu của \[SD\] lên mặt phẳng \[(SAB)\]
\[ \Rightarrow \]\(\left( {SD,(SAB)} \right) = \left( {SD,SA} \right) = \widehat {DSA} < 90^\circ \).
Vì \(SA = AD = a,SA \bot AD\) nên \[\Delta SAD\] vuông cân tại \[A\].
Vậy \[\left( {SD,\left( {SAB} \right)} \right) = \widehat {DSA} = 45^\circ \].
b) \[AB//CD \Rightarrow AB//(SCD) \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SCD} \right)} \right)\]
Có \[\left. \begin{array}{l}CD \bot IK\,\,\,\left( {IK//AD,CD \bot AD} \right)\\CD \bot SI\,\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SIK)\].
Hạ \(IM \bot SK\) tại \(M\).
Có \[\left. \begin{array}{l}CD \bot IM\,\,\,\left( {CD \bot \left( {SIK} \right)} \right)\\SK \bot IM\,\,\end{array} \right\} \Rightarrow IM \bot (SCD) \Rightarrow d(I,(SCD)) = IM\].
Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh a nên \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Có \(IK = AD = a\).
Xét \[\Delta SIK:\frac{1}{{I{M^2}}} = \frac{1}{{I{K^2}}} + \frac{1}{{I{S^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow IM = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].
Vậy \[d\left( {AB,SC} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\). Khẳng định nào sau đây đúng :
Câu 2:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\).
Câu 3:
Tại một cuộc hội thảo quốc tế có 50 nhà khoa học trong đó có 31 người thành thạo tiếng Anh, 21 người thành thạo tiếng Pháp và 5 người thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một người dự hội thảo. Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là
Tại một cuộc hội thảo quốc tế có 50 nhà khoa học trong đó có 31 người thành thạo tiếng Anh, 21 người thành thạo tiếng Pháp và 5 người thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một người dự hội thảo. Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là
Câu 4:
Hai chuyến bay của hai hãng hàng không X và Y, hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để chuyến bay của hãng X và hãng Y khởi hành đúng giờ tương ứng là \(0,92\) và \(0,98\). Tính xác suất để chỉ có duy nhất một trong hai chuyển bay khởi hành đúng giờ.
Câu 5:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Cạnh bên \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(SC = a\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
Câu 7:
Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số \(y = {a^x},a > 1\)?
Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số \(y = {a^x},a > 1\)?
Câu 8:
Cho 2 biến cố A và B, nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố B. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho 2 biến cố A và B, nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố B. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 9:
Số nghiệm của phương trình \[{\log _3}x.{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2{\log _3}x\] là
Số nghiệm của phương trình \[{\log _3}x.{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2{\log _3}x\] là
Câu 10:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - 2{x^4} + {x^2} - 5\). Giá trị \(f''\left( 0 \right)\) bằng
Câu 11:
Đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = {x^2} + 2x\) tại điểm \({x_0} = 1\) được kí hiệu là:
Đạo hàm của hàm số \(y = f(x) = {x^2} + 2x\) tại điểm \({x_0} = 1\) được kí hiệu là:
Câu 12:
Hàm số \[y = \sqrt x \] có đạo hàm trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] đạo hàm của hàm số \[y = \sqrt x \] là
Câu 13:
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.MNPQ\), đường thẳng nào dưới đây vuông góc với đường thẳng\(AD\)?
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.MNPQ\), đường thẳng nào dưới đây vuông góc với đường thẳng\(AD\)?
