Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(AB\).

a) Chứng minh \(CB'\,\,{\rm{//}}\,\left( {AMC'} \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(N\) song song với hai cạnh \(AB'\) và \(AC'\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {BB'C'} \right)\).

a)

Vì \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(AB\) nên \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABB'A'\). Suy ra \(MN\,{\rm{//}}\,AA'\) và \(MN\, = \,AA'\) (do \(ABB'A'\) là hình bình hành).

Ta có \[MN{\rm{ // }}AA',\,AA'{\rm{ // }}CC' \Rightarrow MN{\rm{ // }}CC'\].

Lại có \(AA' = CC'\) (tính chất hình lăng trụ), mà \(MN\, = \,AA'\) nên \[MN = CC'\].

Do đó, tứ giác \[MNCC'\] là hình bình hành. Suy ra \[CN{\rm{ // }}MC'.\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{ // }}MC'\\MC' \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CN{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right).\]

Mặt khác ta chứng minh được \[AN{\rm{ // }}B'M,AN = B'M\] nên tứ giác \[ANB'M\] là hình bình hành. Suy ra \[NB'{\rm{ // }}MA.\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}NB'{\rm{ // }}MA\\MA \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NB'{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right).\]

Lại có \[\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right)\\NB'{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right)\\CN,NB' \subset \left( {CNB'} \right)\\CN \cap NB' = \left\{ N \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AMC'} \right){\rm{ // }}\left( {CNB'} \right).\]

Mà \[CB' \subset \left( {CNB'} \right).\,\,\,{\rm{Suy}}\,\,{\rm{ra}}\,\,\,CB'\,\,{\rm{//}}\,\left( {AMC'} \right)\]. 

b)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(N\) song song với \(AB'\), cắt \(BB'\) tại \(E\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(N\) song song với \(AC'\), cắt \(BC'\) tại \(Q\).

Khi đó, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {NQE} \right)\).

Vì \(E \in BB'\) nên \(E \in \left( {BB'C'} \right)\); vì \(Q \in BC'\) nên \(Q \in \left( {BB'C'} \right)\). Do đó, \(EQ \subset \left( {BB'C'} \right)\).

Vậy \[\left( {NQE} \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ\] hay \[\left( P \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ\].