Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$, $A{A}_1=2a\sqrt{5}$ và $\widehat{BAC}=120°$ có AB=a, AC=2a. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh $B{B}_1$; $C{C}_1$. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng $\left(A_{1}BK\right)$

Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là

Hình bên là đồ thị của ba hàm số $y={\log }_{a}x$, $y={\log }_{b}x$, $y={\log }_{c}x$, $\left(0<a,b,c\ne 1\right)$ được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây đúng

Cho hàm số y=f(x) là hàm lẻ và liên tục trên $\left[-4;4\right]$ biết $\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f\left(-x\right)dx=2$. Tính $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Có 3 bó hoa, bó thứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly

Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hai số thực a,b>1 sao cho luôn tồn tại số thực x $\left(0<x\ne 1\right)$ thỏa mãn $a^{{\log }_{b}x}=b^{{\log }_a{x}^2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P={\ln }^{2}a+{\ln }^{2}b-\ln \left(ab\right)$.

Tất cả giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{3}{2}{x}^4-2m{x}^2+\frac{7}{3}$ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại là

Tổng n số hạng đẩu tiên của một cấp số cộng là $S_n=\frac{3n^2-19n}{4}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Tìm số hạng đầu tiên $u_1$ và công sai d của cấp số cộng đã cho

Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{\frac{5+\left(x-4\right)e^x}{x{e}^x+1}}$, trục hoành và hai đường thẳng x=1, x=1 quay quanh trục hoành có thể tích $V=\pi \left[a+b\ln \left(e+1\right)\right]$, trong đó a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong đợt hội trại được tổ chức tại trường THPT Nguyễn Tất Thành, Đoàn trường có thể thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một  bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=x^4+m{x}^2$ đạt cực tiểu tại x=0.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là điểm I với

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ này

Cho một dụng cụ đựng chất lỏng được tạo bởi một hình trụ và hình nón được lắp đặt như hình bên. Bán kính đáy hình nón bằng bán kính đáy hình trụ. Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình nón và bằng h. Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao bằng $\frac{1}{24}$ chiều cao hình trụ. Lật ngược dụng cụ theo phương vuông góc với mặt đất. Tính độ cao phần chất lỏng trong hình nón theo h

Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu H của A(1;1;1) lên đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+t\\ z=t\end{array}\right.$