Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}, AA\text{'}=2a.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD'.

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $ℝ\backslash \left\{-2;2\right\}$, có bảng biến thiên như sau:

Gọi k, l lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left(x\right)-2018}$

Tính k + l

Trong không gian Oxyz, cho tam giác nhọn ABC có H(2;2;1), $K\left(-\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}\right)$, O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên các cạnh BC, AC, AB. Đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB,SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi M', N', P', Q' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD). Tính tỉ số $\frac{SM}{SA}$ để thể tích khối đa diện $MNPQ.M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}{P}^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen Được giới hạn bởi cạnh AB, CD, đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin . Biết $AB=2\pi \left(m\right), AD=2 \left(m\right)$. Tính diện tích phần còn lại.

Cho đa giác đều 32 cạnh. Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất để chọn được một hình chữ nhật là

Cho hàm số y = f(x) liên tục, luôn dương trên [0;3] và thỏa mãn $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=4$. Khi đó giá trị của tích phân $K=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(e^{1+\ln \left(f\left(x\right)\right)}+4\right)\text{d}x$ là:

Số nghiệm thực của phương trình $4^x-2^{x+2}+3=0$ là:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$?

Cho x, y là các số thực thỏa mãn $1<x<\sqrt{y}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\left({\log }_{x}y-1\right)}^2+8{\left({\log }_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\right)}^2$.

Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$có cạnh đáy bằng a và $A{B}^{\text{'}}\perp B{C}^{\text{'}}$. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Kí hiệu $z_1$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $4z^2-16z+17=0.$ Trên mặt phẳng tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức $w=\left(1+2i\right)z_1-\frac{3}{2}i$?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R. Biết rằng đồ thị hàm số y = f'(x) như hình 2 dưới đây.

Lập hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)-x^2-x$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}, B\left(-2;2;0\right) và C\left(4;1;-1\right)$. Trên mặt phẳng (Oxz), điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A, B, C

Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng (Oxy) biểu diễn các số phức z và $\left(1+i\right)z$. Tính |z| biết diện tích tam giác OAB bằng 8.

Hàm số nào sau đây không đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$?