Câu hỏi:
17/06/2026 260
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, B'C', DD'.
a) Chứng minh rằng ADC'B' là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng BD // (AB'D'), MN // (AB'D').
c) Chứng minh rằng (MNP) // (AB'D') và BD // (MNP).
d*) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình hộp.
e*) Lấy một đường thẳng cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại I, J, H. Tính tỉ số .
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, B'C', DD'.
a) Chứng minh rằng ADC'B' là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng BD // (AB'D'), MN // (AB'D').
c) Chứng minh rằng (MNP) // (AB'D') và BD // (MNP).
d*) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình hộp.
e*) Lấy một đường thẳng cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại I, J, H. Tính tỉ số .
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì ABCD và BCC'B' là các hình bình hành nên AD // BC, AD = BC và BC // B'C', BC = B'C'. Suy ra AD // B'C', AD = B'C'.
Vậy ADC'B' là hình bình hành.
b) Vì BB' // DD' và BB' = DD' nên BDD'B' là hình bình hành.
Do đó, BD // B'D'. Mà B'D' ⊂ (AB'D').
Suy ra BD // (AB'D').
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, B'C' và AD // B'C', AD = B'C' nên AM // B'N và AM = B'N. Suy ra AMNB' là hình bình hành, do đó MN // AB'.
Mà AB' ⊂ (AB'D') nên MN // (AB'D').
c) Vì M, P lần lượt là trung điểm của AD, DD' nên MP là đường trung bình của tam giác ADD', suy ra MP // AD'. Mà AD' ⊂ (AB'D') nên MP // (AB'D').
Theo câu b ta có MN // (AB'D'). Từ đó suy ra (MNP) // (AB'D').
Vì BD // B'D' và B'D' ⊂ (AB'D') nên BD // (AB'D'), suy ra BD // (MNP).
d) Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của C'D', B'B, BA.
Khi đó, ta chứng minh được PE // MN, NF // MP, KF // MN nên các điểm E, F, K đều thuộc mặt phẳng (MNP).
Do đó giao tuyến của (MNP) với các mặt (ADD'A'), (DCC'D'), (A'B'C'D'), (BCC'B'), (ABB'A') và (ABCD) lần lượt là MP, PE, EN, NF, FK, KM.
e) Theo câu d, ta có mặt phẳng (MNP) trùng với mặt phẳng (MKFNEP).
Gọi R, O lần lượt là giao điểm của AC với MK, BD.
Khi đó, ta có và đường thẳng AC cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại A, R, O. Theo giả thiết đường thẳng IJ cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại I, J, H. Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có .
Từ đó suy ra .
a) Vì ABCD và BCC'B' là các hình bình hành nên AD // BC, AD = BC và BC // B'C', BC = B'C'. Suy ra AD // B'C', AD = B'C'.
Vậy ADC'B' là hình bình hành.
b) Vì BB' // DD' và BB' = DD' nên BDD'B' là hình bình hành.
Do đó, BD // B'D'. Mà B'D' ⊂ (AB'D').
Suy ra BD // (AB'D').
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, B'C' và AD // B'C', AD = B'C' nên AM // B'N và AM = B'N. Suy ra AMNB' là hình bình hành, do đó MN // AB'.
Mà AB' ⊂ (AB'D') nên MN // (AB'D').
c) Vì M, P lần lượt là trung điểm của AD, DD' nên MP là đường trung bình của tam giác ADD', suy ra MP // AD'. Mà AD' ⊂ (AB'D') nên MP // (AB'D').
Theo câu b ta có MN // (AB'D'). Từ đó suy ra (MNP) // (AB'D').
Vì BD // B'D' và B'D' ⊂ (AB'D') nên BD // (AB'D'), suy ra BD // (MNP).
d) Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của C'D', B'B, BA.
Khi đó, ta chứng minh được PE // MN, NF // MP, KF // MN nên các điểm E, F, K đều thuộc mặt phẳng (MNP).
Do đó giao tuyến của (MNP) với các mặt (ADD'A'), (DCC'D'), (A'B'C'D'), (BCC'B'), (ABB'A') và (ABCD) lần lượt là MP, PE, EN, NF, FK, KM.
e) Theo câu d, ta có mặt phẳng (MNP) trùng với mặt phẳng (MKFNEP).
Gọi R, O lần lượt là giao điểm của AC với MK, BD.
Khi đó, ta có và đường thẳng AC cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại A, R, O. Theo giả thiết đường thẳng IJ cắt ba mặt phẳng (AB'D'), (MNP), (C'BD) lần lượt tại I, J, H. Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có .
Từ đó suy ra .
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Tỉ số bằng:
A. .
B. .
C. .
D. .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Tỉ số bằng:
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.
a) Chứng minh rằng SC // (MNP).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SCD) và giao điểm Q của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).
c) Xác định giao điểm E của đường thẳng SA với mặt phẳng (MNP).
d) Tính tỉ số .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.
a) Chứng minh rằng SC // (MNP).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SCD) và giao điểm Q của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).
c) Xác định giao điểm E của đường thẳng SA với mặt phẳng (MNP).
d) Tính tỉ số .
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh SD.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Xác định giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC).
c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MBC) với các mặt phẳng (SAB) và (SAD).
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh SD.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Xác định giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC).
c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MBC) với các mặt phẳng (SAB) và (SAD).
Câu 4:
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng (ABD) cắt cạnh AC tại N. Tỉ số bằng:
A. .
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng (ABD) cắt cạnh AC tại N. Tỉ số bằng:
A. .
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 5:
Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Bốn điểm A, B, C, D đã cho đôi một khác nhau.
B. Không có ba điểm nào trong bốn điểm A, B, C, D là thẳng hàng.
C. Hai đường thẳng AC và BD song song với nhau.
D. Hai đường thẳng AC và BD không có điểm chung.
Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Bốn điểm A, B, C, D đã cho đôi một khác nhau.
B. Không có ba điểm nào trong bốn điểm A, B, C, D là thẳng hàng.
C. Hai đường thẳng AC và BD song song với nhau.
D. Hai đường thẳng AC và BD không có điểm chung.
Câu 6:
Cho mặt phẳng (P), ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA cắt mặt phẳng (P) lần lượt tại các điểm M, N, P thì M, N, P thẳng hàng.
Cho mặt phẳng (P), ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên (P). Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng AB, BC, CA cắt mặt phẳng (P) lần lượt tại các điểm M, N, P thì M, N, P thẳng hàng.
Câu 7:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD; P, Q lần lượt thuộc các cạnh CD, BC (P, Q không trùng các đỉnh B, C, D). Chứng minh rằng nếu M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng thì PQ song song với BD.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD; P, Q lần lượt thuộc các cạnh CD, BC (P, Q không trùng các đỉnh B, C, D). Chứng minh rằng nếu M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng thì PQ song song với BD.
Câu 8:
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh CD lấy hai điểm M và N khác nhau. Chứng minh rằng các đường thẳng AM và BN không cắt nhau.
Câu 9:
Vẽ hình biểu diễn của một số đồ vật có dạng hình chóp, hình lăng trụ, ... trong lớp học.
Vẽ hình biểu diễn của một số đồ vật có dạng hình chóp, hình lăng trụ, ... trong lớp học.
Câu 10:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD; P, Q lần lượt thuộc các cạnh CD, BC (P, Q không là trung điểm của CD, CB). Chứng minh rằng nếu M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng thì ba đường thẳng MQ, NP và AC cùng đi qua một điểm.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD; P, Q lần lượt thuộc các cạnh CD, BC (P, Q không là trung điểm của CD, CB). Chứng minh rằng nếu M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng thì ba đường thẳng MQ, NP và AC cùng đi qua một điểm.
Câu 11:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, B'C'. Chứng minh rằng AM // (A'NC).
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, B'C'. Chứng minh rằng AM // (A'NC).
