Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi canh a, $\widehat{BCD}={120}^o$ và AA' = $\frac{7a}{2}$. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'CB'C'D'

Tìm giá trị của m để hàm số $y=\frac{x^2-2mx+3m^2}{2m-x}$nghịch biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$

Cho x,y,z > 0 thỏa mãn điều kiện 

$\frac{x\left(y+z-x\right)}{\log \left(x\right)}=\frac{y\left(z+x-y\right)}{\log \left(y\right)}=\frac{z\left(x+y-z\right)}{\log \left(z\right)}$

Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thu mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng?

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y={\sin }^4\left(x\right){\cos }^6\left(x\right)$

Năm 1992, người ta đã biết số $P=2^{756839}-1$ là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó) Hỏi rằng, viết trong hệ thập phân số nguyên tố đó có bao nhiêu chữ số? (Biết rằng $\log \left(2\right)\approx 0,30102$)

Số phức z thỏa mãn $\frac{z-2i}{z-2}$ là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left|z-1\right|+\left|z-i\right|$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = x . Giả sử $SA\perp \left(ABC\right)$ và góc giữa hai mặt (SBC) và (SCD) bằng ${120}^o$. Tìm x

Xác định m để hàm số $y=x^4+\left(2m-1\right)x^2+m-5$ có hai khoảng đồng biến dạng ( a;b ) và $\left(c;+\infty \right)$ với b < c

Tính giới hạn của dãy số $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1.1!+2.2!+..+n.n!}{\left(n+1\right)!}$

Cho số phức $z=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$. Tính giá trị của biểu thức

$$\begin{gathered} P={\left(z+\frac{1}{z}\right)}^{2016}+{\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)}^{2017} \\ +{\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)}^{2018}+{\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)}^{2019}-2^{2018} \end{gathered}$$

Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đạt cực đại tại x = -2 với giá trị cực đại là 64; đạt cực tiểu tại x = 3 với giá trị cực tiểu là -61. Khi đó giá trị của a + b + c + d bằng

Cho hình lập phương ABCD.EFGH với $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{HD}$. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm bốn cạnh BF, FE, DH, DC. Hỏi mệnh đề nào đúng?

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD = 2. Quay hình chữ nhật ABCD lần lượt quanh AD và AB ta được hai hình trụ tròn xoay có thể tích lần lượt là $V_1{V}_2$. Hệ thức nào sau đây là đúng?

Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình ${\log }_3^2\sqrt{{\log }_3^{2}x+1}-2m-1=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $\left[1;3^{\sqrt{3}}\right]$

Ở một thành phố nhiệt độ (theo ℉) sau t giờ, tính từ 8 giờ sáng được mô hình hóa bởi hàm $T\left(t\right)=50+14\sin \left(\frac{\mathrm{\pi t}}{2}\right)$. Tìm nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian từ 8 giờ sáng đến 8 giờ tối. (Lấy kết quả gần đúng)