Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{1}{3}$. Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỷ số thể tích của hai khối đa diện (khối bé chia khối lớn) bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, có đồ thị như hình vẽ. Các giá trị của tham số m để phương trình $\frac{4m^3+m}{\sqrt{2f^2\left(x\right)+5}}=f^2\left(x\right)+3$ có ba nghiệm phân biệt là

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên.

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f^2\left(\cos x\right)+\left(3-m\right)f\left(\cos x\right)+2m-10=0$ có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi }{3};\pi \right]$ là

Gọi $z_1,{\text{ z}}_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2+6\text{z}+13=0$ trong đó $z_1$ là số phức có phần ảo âm. Tìm số phức $\omega =z_1+2{\text{z}}_2$.

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{6{\text{x}}^2+13\text{x}+11}{2{\text{x}}^2+5\text{x}+2}$ và thỏa mãn F(2) = 7. Biết rằng $F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}+a\ln 2+b\ln 5$, trong đó a, b là các số nguyên. Tính trung bình cộng của a và b

Cho số phức $z=x+yi(x,y\in ℝ)$ thỏa mãn $\left|z-5-5i\right|=2\sqrt{2}$. Tìm $P=x+2y$ sao cho $\left|z\right|$ nhỏ nhất.

Một kĩ sư được nhận lương khởi điểm là 8.000.000 đồng/tháng. Cứ sau 2 năm lương mỗi tháng của kĩ sư đó được tăng thêm 10% so với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kĩ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R. Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình $f\left(2\sin x\right)-2{\sin }^{2}x<m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;\pi \right)$ khi và chỉ khi

Cho một hình nón đỉnh S có chiều cao bằng 8cm, bán kính đáy bằng 6cm. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón (N) đỉnh S có đường sinh bằng 4cm. Tính thể tích của khối nón (N)

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2\text{x}-m}{x+2}$ (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|+2\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|\ge 4$. Hỏi trong đoạn [-30;30] tập S có bao nhiêu số nguyên?

Cho hai số phức $z_1,{\text{ z}}_2$ thỏa mãn $\left|z_1-3i+5\right|=2$ và $\left|i{z}_2-1+2i\right|=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left|2i{z}_1+3{\text{z}}_2\right|$.

Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA', BB', CC' sao cho AM = 2MA', NB' = 2NB, PC = PC'. Gọi $V_1,{\text{ V}}_2$ lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ABCMNP và $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}MNP$. Tính tỷ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Tính a + b + c, biết tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c để $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(4\text{x}+2\right)\ln \text{xdx}=a+b\ln 2+c\ln 3$. Giá trị của a + b +c bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3\text{x}+a-1\text{ khi }x\le 0\\ \frac{\sqrt{1+2\text{x}}-1}{x}\text{ khi }x>0\end{array}\right.$. Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0.

Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức $z=\frac{\left(2-3i\right)\left(4-i\right)}{3+2i}$?

Cho hàm số $y=x^3-3{\text{x}}^2$ có đồ thị (C) và điểm M(m;-4). Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-10;10] sao cho qua điểm M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến (C).