Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) bằng:

Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_{3}x.{\log }_{9}x.{\log }_{27}x.{\log }_{81}x=\frac{2}{3}$ bằng:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1: \frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$, $d_2:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và (P): x+2y+3z-5=0. Đường thẳng vuông góc với (P) và cắt $d_1,d_2$ có phương trình là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\left|3x^4-4x^3-12x^2+m\right|$ có 7 điểm cực trị?

Với n là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^1+C_n^2=55$ số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức ${\left(x^3+\frac{2}{x^2}\right)}^n$ bằng:

Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=x^4-4x^2+5$ trên đoạn [-2;3] bằng:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a (hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A'C' là:

Tích phân ${\int }_0^2\frac{dx}{x+3}$ bằng:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có $AB=2\sqrt{3}$ và AA'=2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', A'C' và BC. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB'C') và (MNP) bằng:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1)=0,  ${\int }_0^1{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx=7$ và ${\int }_0^1{x}^{2}f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}$. Tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt[3]{m+3\sqrt[3]{m+3\sin x}}=\sin x$ có nghiệm thực?

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;-1;1) Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Oyz là điểm:

Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm  $A(2;2;1); B\left(-\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}\right)$.Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là:

Xét số phức $z=a+bi \left(a,b\in R\right)$ thỏa mãn điều kiện $\left|z-4-3i\right|=\sqrt{5}$. Tính P=a+b khi biểu thức |z+1-3i|+|z-1+i| đạt giá trị lớn nhất.