Câu hỏi:
20/07/2026 48
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = 2a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
A. \(\frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).
B. \(\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).
C. \(\frac{{2a\sqrt 3 }}{{19}}\).
D. \(\frac{{2a\sqrt {38} }}{{19}}\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hạ \(AD \bot BC\) tại \(D\) mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\). Suy ra \(BC \bot \left( {SAD} \right)\).
Hạ \(AE \bot SD\) tại \(E\)(1).
Vì \(BC \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AE\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AE \bot \left( {SBC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AE\).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).
Xét \(\Delta SAD\) vuông tại A có \(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}}\)\( = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}}\).
Do đó \(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AE = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hạ \(AD \bot BC\) tại \(D\) mà \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\). Suy ra \(BC \bot \left( {SAD} \right)\).
Hạ \(AE \bot SD\) tại \(E\)(1).
Vì \(BC \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AE\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(AE \bot \left( {SBC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AE\).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).
Xét \(\Delta SAD\) vuông tại A có \(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}}\)\( = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}}\).
Do đó \(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AE = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(\alpha \) là góc nhị diện \(\left[ {A,B'C',A'} \right]\). Tính giá trị của \(\tan \alpha \).
Câu 2:
Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng là hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy dài 262 mét, cạnh bên dài 230 mét. Biết kho báu được đặt ở tâm của đáy kim tự tháp. Hãy xác định vị trí để đào con đường đến kho báu sao cho đoạn đường ngắn nhất.
Câu 3:
Cho \({\log _a}b = 2\) và \({\log _a}c = 3\). Tính \(P = {\log _a}({b^2}{c^3})\).
Câu 4:
Với mọi \(a,b\) thỏa mãn \({\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 5\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Câu 5:
Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động \(x = 4\cos \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 3\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(x\) tính bằng centimét. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.
Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động \(x = 4\cos \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 3\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(x\) tính bằng centimét. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng 0.
Câu 6:
Cho hình lập phương ( như hình vẽ). Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(CD\) và \(AA'\)là
Cho hình lập phương ( như hình vẽ). Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(CD\) và \(AA'\)là
Câu 7:
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), trong đó \(a \bot \left( P \right)\). Chọn mệnh đề sai.
Câu 8:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = a\sqrt 2 .\) Cạnh bên \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = 3a.\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng
Câu 9:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(AC\), \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(SC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 11:
Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Hãy tính xác suất để
a) Cả hai động cơ đều chạy tốt.
b) Có ít nhất một động cơ chạy tốt.
Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Hãy tính xác suất để
a) Cả hai động cơ đều chạy tốt.
b) Có ít nhất một động cơ chạy tốt.
Câu 12:
Một bình đựng 7 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. Tính xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen?
Một bình đựng 7 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. Tính xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen?
Câu 14:
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \(a\). Biết \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi \[M;\,N\,;P\] lần lượt là trung điểm của \[SA;\,SB\,;\,SC\]. Tính thể tích khối chóp \[MNP.ABC\].
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \(a\). Biết \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi \[M;\,N\,;P\] lần lượt là trung điểm của \[SA;\,SB\,;\,SC\]. Tính thể tích khối chóp \[MNP.ABC\].
