Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu đi qua năm điểm A,B,C,$B_1,C_1$.

 

Giả sử hàm chỉ mức mức sản xuất của một hãng DVD trong một ngày là $q(m,n)=m^{\frac{2}{3}}{n}^{\frac{1}{3}}$, trong đó m là số lượng nhân viên và n là số lượng lao động chính. Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu của khách hàng. Biết rằng tiền lương một ngày cho một nhân viên là 16 USD và cho một lao động chính là 27 USD. Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí trong một ngày của hãng sản xuất này.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị là đường gấp khúc như hình vẽ bên. Tính ${\int }_0^{9}f\left(x\right)dx$.

Tìm phần nguyên của nghiệm lớn nhất trong khoảng $\left(-5\mathrm{\pi };-2\mathrm{\pi }\right)$ của phương trình $\tan \left(2x+1\right)\tan \left(3x-1\right)=1$.

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\frac{x^2}{2}$ và đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng $2\sqrt{2}$. Biết $S=a\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$, trong đó $a,b,c\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*},(b,c)=1$. Tính tổng $a+b+c$.

Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh a.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hai số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức $A=\frac{a^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{b}+b^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}$.

Tính tổng các nghiệm trong khoảng $\left(-\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }\right)$ của phương trình $\cos \left(x-1\right)=0$.

Cho một tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a $a>0$. Tìm theo a giá trị lớn nhất của diện tích của tam giác vuông đó.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C'. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ) với hình lăng trụ đã cho là hình gì?

Trong không gian Oxyz tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng cho bởi các phương trình $z-2=0$ và $z-8=0$.

Biết ${\int }_0^{x^2}f\left(t\right)dt=x\cos \left(\mathrm{\pi x}\right)\forall x\in \mathrm{ℝ}$ . Tính $f\left(4\right)$.

Trong mặt phẳng có m đường thẳng song song với nhau và n  đường thẳng vuông góc với m đường thẳng song song đó ($m,n\in \mathrm{\mathbb{N}};m,n\ge 2$). Có nhiều nhất bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ các đường thẳng đó nếu $m+n=15$?

Cho hàm số $y=x^3-6x^2+9x-1$ và điểm $A\left(1;m\right)$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho có đúng một tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua A. Biết S là hợp của một số khoảng rời nhau. Có bao nhiêu khoảng như vậy?

Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có thể tích V =5, các đỉnh $A\left(2;1;-1\right)$, $B\left(3;0;1\right)$, đỉnh thứ tư D nằm trên trục Oy và có tung độ dương. Tìm tọa độ của D.