Câu hỏi:
14/08/2026 58
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng \(2a\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
A. \(d = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}\).
B. \(d = \frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}\).
C. \(d = \frac{a}{2}\).
D. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Từ giả thiết ta suy ra \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều.
Gọi \(O\) là tâm của đáy, suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Gọi \(J\) là trung điểm \(CD\), suy ra \(OJ \bot CD\).
Gọi \[K\] là hình chiếu của \[O\] trên \[SJ\], suy ra \[OK \bot SJ\].
Ta chứng minh được \(CD \bot \left( {SOJ} \right)\), suy ra \(CD \bot OK\), từ đó suy ra \(OK \bot \left( {SCD} \right)\).
Khi đó \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OK\).
Ta có \(OJ = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\); \(BD = a\sqrt 2 \), \(BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(SO = \sqrt {S{A^2} - B{O^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }}\).
Khi đó ta có \(OK = \frac{{SO \cdot OJ}}{{\sqrt {S{O^2} + O{J^2}} }} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}\).
Vậy \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2OK = \frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}\).
Đáp án đúng là: B
Từ giả thiết ta suy ra \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều.
Gọi \(O\) là tâm của đáy, suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Gọi \(J\) là trung điểm \(CD\), suy ra \(OJ \bot CD\).
Gọi \[K\] là hình chiếu của \[O\] trên \[SJ\], suy ra \[OK \bot SJ\].
Ta chứng minh được \(CD \bot \left( {SOJ} \right)\), suy ra \(CD \bot OK\), từ đó suy ra \(OK \bot \left( {SCD} \right)\).
Khi đó \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OK\).
Ta có \(OJ = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\); \(BD = a\sqrt 2 \), \(BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \(SO = \sqrt {S{A^2} - B{O^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }}\).
Khi đó ta có \(OK = \frac{{SO \cdot OJ}}{{\sqrt {S{O^2} + O{J^2}} }} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}\).
Vậy \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2OK = \frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đường thẳng \[a\] không vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \[a\] và vuông góc với \[\left( \alpha \right)\].
Câu 4:
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Khoảng cách từ điểm \(S\) đến \(\left( {ABC} \right)\) bằng
Câu 5:
Cho \(a,\,\,b > 0\) thỏa mãn \({a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}},\,\,{b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}\). Khi đó khẳng định nào đúng?
Câu 6:
Nếu \({\log _a}x = \frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 + {\log _a}2\) \(\left( {a > 0,\,\,a \ne 1} \right)\) thì \(x\) bằng
Câu 7:
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] (như hình vẽ dưới).
Góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] là
Câu 8:
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình vuông, tam giác \(SAB\) là tam giác đều, \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(I,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\). Chứng minh rằng:
a) \[SI \bot CF\];
b) \(CF \bot \left( {SID} \right)\).
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình vuông, tam giác \(SAB\) là tam giác đều, \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(I,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\). Chứng minh rằng:
a) \[SI \bot CF\];
b) \(CF \bot \left( {SID} \right)\).
