Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh $a,\stackrel{⏜}{BAD}={60}^0$ và SA vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBD\right)$ và $\left(ABCD\right)$ bằng ${45}^0$. Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và N là trung điểm của SC. Mặt phẳng $\left(MND\right)$ chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích $V_1$ và khối đa diện còn lại có thể tích bằng $V_2$. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathrm{ℝ}/\left\{-1\right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiến như hình dưới

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực ra sao cho phương trình $f\left(x\right)=m$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt

Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1, 2, 4. Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó bằng

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$. Gọi $S_n=u_1+u_2+...+u_n.$ Biết rằng $\frac{S_p}{S_q}=\frac{p^2}{q^2}$ với $p\ne q,p,q\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*.}$ Tính giá trị của biểu thức $\frac{u_{2017}}{u_{2018}}$

Đồ thị (C) của hàm số $y=f\left(x\right)=\ln x$ cắt trục hoành tại điểm A .Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình là

Biết $F\left(x\right)=\frac{x}{\cos x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$. Tính tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}f\left(x\right)dx$

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $\mathrm{ℝ},C$ là hằng số. Mệnh đề nào dưới đây sai

Cho $4^x+4^{-x}=14$. Khi đó biểu thức $P=\frac{1+2^x+2^{-x}}{5-2^x-2^{-x}}$ có giá trị bằng

Cho khối chóp S.ABC có $SA=SB=SC=a$ và $\stackrel{⏜}{ASB}=\stackrel{⏜}{BSC}=\stackrel{⏜}{CSA}={30}^0$.  Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và cắt hai cạnh SB, SC tại  sao cho chu vi tam giác $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$nhỏ nhất. Tính $k=\frac{V_{S.A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{V_{S.ABC}}$

Biết phương trình $2{\log }_{2}x+3{\log }_{x}2=7$ có hai nghiệm thực $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$. Tính giá trị của biểu thức $T={\left(x_1\right)}^{x_2}$

Tập xác định của hàm số $y={\left(x-1\right)}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}$

Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình ${\log }_2\left(\frac{2x^2+1}{2x}\right)+2^{x+\frac{1}{2x}}=5$

Cho hàm số bậc ba $f\left(x\right) và g\left(x\right)=-f\left(mx+n\right)\left(m,n\in \mathrm{\mathbb{Q}}\right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây 

Biết hàm số $g\left(x\right)$  nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 5. Giá trị biểu thức $3m+2n$  là

Biết rằng đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ có hai điểm cực trị là A, B và đường thẳng AB đi qua điểm $I\left(0;1\right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=abc+2ab+3c$

Xét trên tập xác định thì

Cho $P\left(z\right)$ là một đa thức với hệ số thực. Nếu số phức z thỏa mãn $P\left(z\right)=0$ thì