Câu hỏi:
14/08/2026 94
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(SD = 2a\sqrt 3 \) và góc tạo bởi đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(30^\circ \). Tính thể tích \(V\)của khối chóp \(S.ABCD\).
A. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{7}\).
B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{13}}\).
C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
D. \(V = \frac{{4{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Vì tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).
Lại có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), do đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Khi đó, góc tạo bởi đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(SCH\) và \(\widehat {SCH} = 30^\circ \).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên ta chứng minh được \(HC = HD\).
Từ đó suy ra \(\Delta SHC = \Delta SHD\) (c – g – c). Suy ra \(SC = SD = 2a\sqrt 3 \).
Tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) nên ta có
\[SH = SC\sin \widehat {SCH} = 2a\sqrt 3 \cdot \sin 30^\circ = a\sqrt 3 \]
\(HC = SC\cos \widehat {SCH} = 2a\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = 3a\).
Vì tam giác \(SAB\) đều mà \(SH = a\sqrt 3 \) nên ta suy ra \(AB = \frac{{2SH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 2a\).
Suy ra \(HB = \frac{{AB}}{2} = a\). Khi đó, \(BC = \sqrt {H{C^2} - H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {a^2}} = 2a\sqrt 2 \).
Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = AB \cdot BC = 2a \cdot 2a\sqrt 2 = 4{a^2}\sqrt 2 \).
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 4{a^2}\sqrt 2 \cdot a\sqrt 3 = \frac{{4{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Vì tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).
Lại có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), do đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Khi đó, góc tạo bởi đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(SCH\) và \(\widehat {SCH} = 30^\circ \).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên ta chứng minh được \(HC = HD\).
Từ đó suy ra \(\Delta SHC = \Delta SHD\) (c – g – c). Suy ra \(SC = SD = 2a\sqrt 3 \).
Tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) nên ta có
\[SH = SC\sin \widehat {SCH} = 2a\sqrt 3 \cdot \sin 30^\circ = a\sqrt 3 \]
\(HC = SC\cos \widehat {SCH} = 2a\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = 3a\).
Vì tam giác \(SAB\) đều mà \(SH = a\sqrt 3 \) nên ta suy ra \(AB = \frac{{2SH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 2a\).
Suy ra \(HB = \frac{{AB}}{2} = a\). Khi đó, \(BC = \sqrt {H{C^2} - H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {a^2}} = 2a\sqrt 2 \).
Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = AB \cdot BC = 2a \cdot 2a\sqrt 2 = 4{a^2}\sqrt 2 \).
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 4{a^2}\sqrt 2 \cdot a\sqrt 3 = \frac{{4{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{8}}}\left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) có tập xác định là
Câu 2:
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có \[AB = SA = 2a\]. Khoảng cách từ đường thẳng \[AB\] đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] bằng
Câu 3:
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,0 điểm)
a) Giải bất phương trình \(2{\log _2}\sqrt {x + 1} \le 2 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\).
b) Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{x^2} - 4x - 5}} = {4^{x + 1}}\) .
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,0 điểm)
a) Giải bất phương trình \(2{\log _2}\sqrt {x + 1} \le 2 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\).
b) Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{x^2} - 4x - 5}} = {4^{x + 1}}\) .
Câu 4:
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 2a\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\). Biết \(MN = a\sqrt 3 \). Góc giữa \(AB\) và \(CD\) bằng
Câu 5:
Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn \(S\), diện tích đáy nhỏ \(S'\) và chiều cao \(h\) được tính theo công thức nào?
Câu 8:
Nếu \[{\log _a}x = \frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5\] \(\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\) thì \(x\) bằng
Câu 9:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
Câu 10:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \[SA \bot \left( {ABCD} \right),\,\,SA = AB\], đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(K\) là trung điểm của đoạn \(SB\). Đường vuông góc chung giữa \(AD\) và \(SB\) là
Câu 11:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) với \(BC = a\) và mặt bên \(AA'B'B\) là hình vuông. Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
Câu 13:
Tính \(K = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}}\), ta được
Câu 14:
Cho hình lập phương \(MNPQ.M'N'P'Q'.\) Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(M'P'\) bằng
Câu 15:
Cho tứ diện \[S.ABCD\] có các cạnh \[SA\,,\,SB\,,\,SC\] đôi một vuông góc (tham khảo hình vẽ). Số đo của góc nhị diện \[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\] bằng
