Cho hình chóp S.ABC có $SA=a,SB=b,SC=c$. Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua trọng tâm của $\Delta ABC$, cắt các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt tại $A^{\text{'}},B^{\text{'}},C^{\text{'}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{S{A^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{S{B^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{S{C^{\text{'}}}^2}$.

Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài là 12cm và chiều rộng là 6cm. Thực hiện thao tác gấp góc dưới bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại (như hình vẽ). Hỏi chiều dài L tối thiểu của nếp gấp là bao nhiêu?

Một chiếc ly dạng hình nón (như hình vẽ). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước trong ly bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của ly (tính phần chứa nước). Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỉ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước lúc đó bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện ABCD và M, N là các điểm thay đổi trên cạnh AB và CD sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}$. Gọi P là một điểm trên cạnh AC và S là diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng $\left(MNP\right)$  và hình chóp. Tính tỉ số k của diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện S.

Trong khai triển ${\left(1+2x\right)}^n=$$a_0+a_{1}x+\mathrm{...}+a_n{x}^n,n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Tìm số lớn nhất trong các hệ số $a_0,a_1\mathrm{,...,}{a}_n$, biết $a_0+\frac{a_1}{2}+\mathrm{...}+\frac{a_n}{2^n}=4096$

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left|z\right|=7$ và $z^2$ là số thuần ảo?

Giá trị cực tiểu $y_{CT}$ của hàm số $y=x^3-3x^2+4$ là

Cho các số thực $x_1,x_2,x_3,x_4$ thỏa mãn $0<x_1<x_2<x_3<x_4$ và hàm số $y=f\left(x\right)$. Biết hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[0;x_4\right]$. Đáp áp nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với $AB=AC=a$. Cạnh bên $SA=SB=a$ và có $\left(SBC\right)\perp \left(ABC\right)$. Tính độ dài SC để bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng a.

Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có thể tích bằng $12c{m}^3$. Tính thể tích khối tứ diện AB'CD'.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biết điểm $M^{\text{'}}\left(-3;0\right)$ là ảnh của điểm $M\left(1;-2\right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ và ${M^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(2;3\right)$ là ảnh của điểm ${M^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(2;3\right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích các khối chóp S.ABCD và S.AMKN. Tỉ số $\frac{V^{\text{'}}}{V}$ có giá trị nhỏ nhất bằng

Trong một buổi thi văn nghệ có các tiết mục của các trường đến Hà Nội, Ninh Bình, Huế, Đồng Nai. Tìm số cách xếp thứ tự để tiết mục văn nghệ đến từ Ninh Bình sẽ biểu diễn đầu tiên?

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{4^x}{4^x+2}$ và góc $\alpha$  tùy ý. Khi đó giá trị của biểu thức $P=f\left({\sin }^2\alpha \right)+f\left({\cos }^2\alpha \right)$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy $\left(ABCD\right)$ và $SC=a\sqrt{5}$. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?