Câu hỏi:
14/08/2026 132
(1,0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a,{\rm{ }}SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\], góc giữa \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[60^\circ \], \[M\] là trung điểm của \[AB.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SM{\rm{ v\`a }}BC\].
(1,0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a,{\rm{ }}SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\], góc giữa \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[60^\circ \], \[M\] là trung điểm của \[AB.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SM{\rm{ v\`a }}BC\].
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \(N,I\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BC\).
\(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BC\)\( \Rightarrow BC\,{\rm{//}}\,\left( {SMN} \right)\).
Khi đó ta có \(d\left( {BC,SM} \right) = d\left( {BC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SMN} \right)} \right)\)\( = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)\).
Dễ thấy \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow MN \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow \left( {SMN} \right) \bot \left( {SAI} \right)\) theo giao tuyến \(SH\) với \(H\) là giao điểm của \(MN\) và \(AI\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAI} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\)\(\left( {K \in SH} \right)\)\( \Rightarrow AK \bot \left( {SMN} \right)\).
Vậy \(d\left( {BC,SM} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = AK\).
Ta có \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{1}{2}AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \)\( \Rightarrow SA = AB\tan 60^\circ = a\sqrt 3 .\)
Ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{{16}}{{3{a^2}}} = \frac{{17}}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\).
Vậy \(d\left( {BC,SM} \right) = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,0 điểm)
a) Cho \({\log _3}a = 2\) và \({\log _2}b = \frac{1}{2}\). Tính \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\).
b) Năm 2020, dân số thế giới là 7,795 tỉ người và tốc độ tăng dân số 1,05%/năm. Nếu tốc độ tăng này tiếp tục duy trì ở những năm tiếp theo thì dân số thế giới sạ \(t\) năm kể từ năm 2020 được tính bởi công thức:
\(P\left( t \right) = 7,795 \cdot {\left( {1 + 0,0105} \right)^t}\) (tỉ người).
Khi đó, hãy tính dân số thế giới vào năm 2025 và vào năm 2030.
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,0 điểm)
a) Cho \({\log _3}a = 2\) và \({\log _2}b = \frac{1}{2}\). Tính \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\).
b) Năm 2020, dân số thế giới là 7,795 tỉ người và tốc độ tăng dân số 1,05%/năm. Nếu tốc độ tăng này tiếp tục duy trì ở những năm tiếp theo thì dân số thế giới sạ \(t\) năm kể từ năm 2020 được tính bởi công thức:
\(P\left( t \right) = 7,795 \cdot {\left( {1 + 0,0105} \right)^t}\) (tỉ người).
Khi đó, hãy tính dân số thế giới vào năm 2025 và vào năm 2030.
Câu 4:
Cho hình chóp \[S.ABCD{\rm{ c\'o }}SA \bot \left( {{\rm{ }}ABCD} \right),\] đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật. Biết \[AD = 2a,\] \[SA = a.\] Khoảng cách từ \[A\] đến \[\left( {SCD} \right)\] bằng
Câu 5:
Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước \[2;6;7\]. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
Câu 6:
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 2a\).
a) Chứng minh \(BC\) vuông góc với \[SB\].
b) Tính tan của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\).
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 2a\).
a) Chứng minh \(BC\) vuông góc với \[SB\].
b) Tính tan của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\).
Câu 7:
Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \[AB\], \[BC\], \[BD\] bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 8:
Với các số thực \(a\), \(b\) bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây luôn đúng?
Câu 10:
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta \) không nằm trong mp \(\left( P \right)\), đường thẳng \(\Delta \) được gọi là vuông góc với mp \(\left( P \right)\) nếu
Câu 11:
Cho \(P = \frac{{a\sqrt a \sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^3}}}\) với \(a\) là một số thực dương. Đặt \(x = \sqrt[{12}]{a}\). Biểu diễn \(P\) theo \(x\) ta được
Câu 12:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh đều bằng\[\;a\]. Gọi \[I\] và \[J\] lần lượt là trung điểm của \[SC\] và \[BC\]. Số đo của góc giữa hai đường thẳng \[IJ\] và \(CD\) bằng
Câu 13:
Tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \({3^x} = m\) có nghiệm thực là
Câu 14:
Trong không gian cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau.
Mệnh đề nào dưới đúng?
Trong không gian cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau.
Mệnh đề nào dưới đúng?
