Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là trung điểm của $AM.$ Biết $HB=HC,\widehat{HBC}={30}^0;$ góc giữa mặt phẳng $\left(SHC\right)$ và mặt phẳng $\left(HBC\right)$ bằng ${60}^0.$ Tính cô-sin của góc giữa đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $\left(SHC\right)$.

Cho $\left(H\right)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\sqrt{3}{x}^2$ và nửa đường tròn có phương trình $y=\sqrt{4-x^2}$ với $-2\le x\le 2$ (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của $\left(H\right)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $M\left(-1;2;3\right),N\left(0;2;-1\right).$ Tọa độ trọng tâm của tam giác $OMN$ là

Đạo hàm của hàm số $y=3^x$ là

Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài cho đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng.

Biết $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\mathrm{10,}F\left(x\right)$là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$và $F\left(a\right)=-3.$Tính $F\left(b\right).$

Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-t\\ z=2+t\end{array}\right.$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y+1=0.$ Tìm hình chiếu của đường thẳng $d$ trên $\left(P\right).$

Có 16 tấm bìa ghi 16 chữ “HỌC”, “ĐỂ”, “BIẾT”, “HỌC”, “ĐỂ”, “LÀM”, “HỌC”, “ĐỂ”, “CHUNG”, “SỐNG”, “HỌC”, “ĐỀ”, “TỰ”, “KHẲNG”, “ĐỊNH”, “MÌNH”. Một người xếp ngẫu nhiên 16 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để xếp các tấm bìa được dòng chữ “HỌC ĐỀ BIẾT HỌC ĐỂ LÀM HỌC ĐỂ CHUNG SỐNG HỌC ĐỂ TỰ KHẲNG ĐỊNH MÌNH”. 

Có tất cả bao nhiêu cặp số thực $\left(x;y\right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $3^{\left|x^2-2x-3\right|-{\log }_{3}5}=5^{-\left(y+4\right)}$ và $4\left|y\right|-\left|y-1\right|+{\left(y+3\right)}^2\le 8.$

Cho các số thực $m,n$ và $a$ là số thực dương. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^3+3x}{x^2+3x+2}dx=a+b\ln 2+c\ln 3$ với $a,b,c$ là các số hữu tỉ, tính $S=2a+b^2+c^2.$ 

Cho hình hình hộp chữ nhật $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có đáy là hình vuông cạnh $a,$ chiều cao $AA\text{'}=a\sqrt{3}.$ Gọi $M$ là trung điểm của $CC\text{'}.$ Tính thể tích của khối tứ diện $BDA\text{'}M.$

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với d = 1  và công sai $d=1.$ Khi đó $u_1= 2$ bằng 

Giả sử $S=\left(a;b\right]$ là tập nghiệm của bất phương trình $5x+\sqrt{6x^2+x^3-x^4}{\log }_{2}x>\left(x^2-x\right){\log }_{2}x+5+5\sqrt{6+x-x^2}.$ Khi đó $b-a$ bằng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số $y=f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?